Мы,
разумеется, не собираемся здесь доказывать
неразрешимость задачи о квадратуре
круга. Можно было бы попытаться в
доступных терминах наметить общее
направление доказательства - но мы и
этого делать не будем, потому что это
вывело бы нас за пределы того, что мы
считаем общекультурным математическим
минимумом. А вот самоё формулировку
обсудим. Казалось бы, что тут обсуждать,
формулировка достаточно ясная. Сейчас
мы увидим, что на самом деле её смысл
нуждается в разъяснении. Приносим
извинения тому читателю, который почтёт
эти разъяснения занудными и излишними.
Но надеемся встретить и иного читателя,
который найдет здесь пищу для размышлений
и оценит то обстоятельство, что именно
математика является поставщиком такой
пищи.

… этот господин был префектом Верхних Альп… — Верхние Альпы — департамент на юго-востоке Франции, большая часть которого находится в области Дофине; административный центр — город Гап.






Каждая
задача на построение предполагает
наличие некоторой исходной геометрической
фигуры и состоит в требовании указать
способ, позволяющий построить новую
фигуру, связанную с исходной указанными
в задаче соотношениями. Так, в задаче о
середине отрезка исходной фигурой был
отрезок, а новой фигурой - точка, являющаяся
его серединой; в задаче о квадратуре
круга исходная фигура - круг, а новая -
квадрат, имеющий ту же площадь. Вот ещё
пример: по данной стороне построить
правильный треугольник (то есть такой
треугольник, у которого одинаковы все
стороны и все углы). Исходной фигурой
здесь служит отрезок, а новой фигурой
- треугольник, у которого все стороны
конгруэнтны этому отрезку. Надеемся,
что читатель легко решит эту задачу.
Можно построить и правильный
семнадцатиугольник, но это уже не столь
просто. А вот аналогичная задача о
построении правильного семиугольника
не имеет решения - это в конце XVIII века
доказал один из величайших математиков
всех времён Карл Фридрих Гаусс (1777 -
1855). До Гаусса существование таких задач
на построение, решить которые невозможно,
было лишь правдоподобной гипотезой. Он
же указал способ построения правильного
17-угольника. Вот ещё пример весьма
известной и древней задачи на построение:
задача о трисекции угла . В ней
требуется для каждого угла построить
другой угол, составляющий треть исходного.
Для некоторых углов специального вида
- например, для прямого угла - построение
трети не составляет труда. Однако в
середине XIX века про некоторые углы было
доказано, что, оперируя линейкой и
циркулем, построить их невозможно.
Оказалось, в частности, что невозможно
построить углы в 10 и 20 градусов и,
следовательно, осуществить трисекцию
углов в 30 и 60 градусов. Тем самым была
установлена неразрешимость задачи о
трисекции угла .




… наградил победителя, сначала введя его в Государственный совет, позднее назначив его своим шталмейстером, затем министром-резидентом Франции при Веймарском дворе. — Государственный совет — коллегиальный орган, составлявший, согласно конституции 22 фримера VIII года (13 декабря 1799 г.), с Трибунатом, Законодательным корпусом и Сенатом законодательную власть во Франции.

Итак,
в каждой задаче на построение требуется
указать некоторый способ построения.
Когда такой способ предъявляется, как
это было для задачи о середине отрезка,
он, способ, обычно не вызывает сомнений.
Но когда утверждается, что такого способа
нет, как это утверждается для квадратуры
круга или для трисекции угла, возникает
необходимость уточнить, чего именно
нет.




Шталмейстер (конюший) — высокая должность при французском дворе: управляющий конюшнями.

Всякий
способ построения состоит в указании
некоторой последовательности разрешённых
операций. Последовательность эта - своя
для каждой задачи. Сам же перечень
разрешённых операций один и тот же для
всех задач на построение. Он весьма
невелик, и мы сейчас с ним познакомимся.




Министр-резидент (от лат. residens — «пребывающий») — дипломатический представитель третьего ранга, аккредитованный при иностранном правительстве.

Прежде
всего, это операции, связанные с линейкой.
Читателя может удивить множественное
число. Что ещё можно делать с линейкой,
как не чертить прямую? А вот что: чертить
луч, то есть полупрямую; чертить отрезок.
Более точно: разрешается, приложив
линейку к двум уже построенным точкам,
начертить отрезок между этими точками;
или луч, начинающийся в одной из этих
точек и проходящий через другую; или
прямую, проходящую через эти две точки.
Господи! - воскликнет читатель, да это
же и так ясно, стоило ли тратить слова
на такую очевидность. Я благодарен
читателю за это восклицание, потому что
оно даёт возможность объяснить, почему
стоило. Для этого рассмотрим ещё одну
операцию, не менее простую для исполнения,
чем проведение прямой через две точки,
но, однако же, не входящую в перечень
разрешённых: через данную точку провести
касательную к данной окружности. Начертив
окружность и взяв точку вне круга,
читатель убедится, как легко провести
касательную, используя реальную,
деревянную или металлическую, линейку.
Тем не менее в перечень разрешённых
операций проведение касательной не
включено. Мы только что прибегли к
важному, как нам кажется, приёму обучения
понятиям: надо не только приводить
примеры вещей, входящих в объём вводимого
понятия, но и контрпримеры вещей, в
указанный объём не входящих. Так, чтобы
на примерах объяснить, что такое чётное
число, надо не только сказать, что числа
0, 2, 4, 6 и так далее являются чётными, но
и сказать, что числа 1, 3, 5, 7 и так далее
таковыми не являются; чтобы объяснить
марсианину, что такое кошка, надо
предъявить ему не только несколько
кошек, но также и несколько собак, сказав,
что они кошками не являются.

Веймар — город в Восточной Германии на реке Ильм (левый приток Заале), крупнейший культурный центр Германии XVIII в., столица Великого герцогства Саксен-Веймарского, где правил в описываемое время великий герцог Карл Август (1757–1828); после 1806 г. герцогство входило в состав Рейнского союза, но в 1813 г. примкнуло к антинаполеоновской коалиции.






С
циркулем связана такая операция.
Установив иглу циркуля в уже построенную
точку, а стило в другую уже построенную
точку, разрешается начертить окружность.
И даже более общо: установив иглу и стило
в две уже построенные точки, разрешается,
не меняя раствора циркуля, перенести
иглу в третью уже построенную точку и
начертить окружность.




… Господин Меттерних решил воспользоваться его возвращением… — Метгерних-Виннебург, Клеменс Венцель Лотар, князь (1773–1859) — австрийский государственный деятель и дипломат, один из столпов европейской реакции; посол в Дрездене (1801–1803), Берлине (1803–1805) и Париже (1805–1809); осенью 1809 г. вел переговоры о заключении Шёнбруннского мирного договора с Францией, но, не достигнув успеха, вышел в отставку; с 1809 г. министр иностранных дел, фактически возглавлял австрийское правительство; ориентировался на союз с Францией против России, но в 1813–1814 гг. выступил как один из руководителей очередной антифранцузской коалиции; в 1814–1815 гг. председательствовал на Венском конгрессе, определившем послевоенное устройство Европы; в 1815 г. организатор т. н. Священного союза европейских монархов для борьбы против революционных и национально-освободительных движений и либеральных идей; с 1821 г. канцлер австрийской монархии; в 1848 г. был свергнут революцией и бежал в Англию; возвратился в 1850 г. и иногда выступал советником правительства, но к власти не вернулся.

Разрешается
находить пересечения друг с другом уже
построенных прямых, лучей, отрезков,
окружностей и дуг окружностей (но не
всяких дуг, а расположенных между двумя
уже построенными точками).






Наконец,
разрешается совершать так называемый
выбор произвольной точки . Это
значит, что разрешается нанести стилом
точку в любом месте плоскости, а также
в любом месте уже построенной фигуры и
использовать эту точку в дальнейших
построениях. (Термин «фигура» обозначает
здесь отрезок, луч, прямую, окружность,
дугу окружности, а также участок
плоскости, граница которой составлена
из перечисленных только что простейших
фигур.)




Только
теперь, после описания всех разрешённых
операций, обретает точный смысл
утверждение о нерешимости той или иной
задачи на построение, в частности задачи
о квадратуре круга. Отсутствие решения
означает здесь отсутствие такой цепочки
разрешённых операций, которая приводила
бы от круга к квадрату той же площади.

… дворец Тюильри, столь роковой для королей… — С кон. XVIII в., когда Тюильри снова стал постоянной резиденцией французских монархов, общий кризис монархической системы в стране обусловил несчастливый конец царствования почти всех обитателей этого дворца.




Людовик XVI в день восстания 10 августа 1792 г., когда Тюильри был взят народом, бежал из дворца и укрылся в Конвенте, а потом был арестован, судим и казнен.

Заметим,
что сам перечень разрешённых операций
в значительной степени обусловлен
историческими причинами и, вообще
говоря, мог бы быть другим. Например,
можно было бы включить в число разрешённых
операций операцию построения касательной,
о которой говорилось выше (заметим,
кстати, что это не дало бы ничего
принципиально нового, потому что
касательную можно построить, подобрав
подходящую цепочку разрешённых операций
из старого перечня). Можно было бы
включить в число разрешённых операций
вычерчивание эллипса - ведь устройство
для вычерчивания эллипса лишь немногим
сложнее циркуля (достаточно вбить два
гвоздя в фокусы эллипса и протянуть
между ними нить, более длинную, нежели
расстояние между фокусами; зацепим нить
стилом и натянем; тогда, перемещая стило
так, чтобы нить оставалась натянутой,
получим эллипс). Да даже и не надо
заботиться о лёгкости выполнения
разрешённой операции: строго говоря,
мы вправе объявить разрешённой любую
операцию по нашему усмотрению. Перечень
разрешённых операций, с чисто логической
точки зрения, достаточно произволен.
Однако, коль скоро он выбран, он уже не
меняется. Полезная аналогия: свод
юридических актов. С чисто логической,
опять же, точки зрения, законы произвольно
устанавливаются законодателем, но,
будучи принятыми, они уже - хотя бы на
определённый период - не меняются; во
всяком случае, так должно быть.




Людовик XVIII утром 19 марта 1815 г., во время возвращения Наполеона с Эльбы, вынужден был поспешно бежать из Тюильри (умер он, однако, правящим монархом).

Объясним
теперь, почему задачам на построение
было уделено здесь такое внимание.
Причина в том, что на примере этих задач
мы пытались продемонстрировать некоторые
математические представления
принципиального характера, представления,
которые можно отнести к философии
математики, а то и к философии вообще.
Перечислим эти представления.




Царствование Наполеона I, обосновавшегося в свое время в Тюильри, дважды прерывалось отречениями 1814 и 1815 гг. и окончилось в ссылке.

Карл X в результате Июльской революции 1830 года был вынужден отречься от престола, бежать из страны (правда, не из Тюильри непосредственно, а из королевской загородной резиденции Сен-Клу) и умереть в эмиграции.

Во-первых,
был ещё раз проиллюстрирован тезис, что
задача, или проблема, всегда
есть требование что-то найти, указать,
построить.

Луи Филипп был свергнут Февральской революцией 1848 года и умер в эмиграции.




Во-вторых,
была показана необходимость уточнения
того, в пределах какого класса объектов
ищется решение задачи. Иногда этот класс
состоит из объектов довольно простой
(честнее было бы сказать: довольно
привычной) природы - троек чисел в
проблеме Ферма, отрезков в проблеме
соизмеримости, но иногда он состоит из
довольно-таки специальных объектов,
подобно цепочкам операций в задачах на
построение.

Стоит, пожалуй, добавить, что через восемнадцать лет после выхода в свет романа «Консьянс» бесславно закончилось и царствование последнего французского монарха, императора Наполеона III(1808–1873; правил в 1852–1870 гг.), племянника Наполеона I. Французская революция 4 сентября 1870 г. свергла его с престола, и хотя сам император 2 сентября 1870 г. после разгрома французской армии при Седане был взят в плен пруссаками, его супруга императрица Евгения (1826–1920), назначенная регентшей при отъезде мужа на войну, бежала из Тюильри.




В-третьих,
уточнение, о котором только что шла
речь, особенно необходимо в случае, если
задача оказывается нерешимой.

… принял от г-на Меттерниха, русского посланника г-на Нессельроде и английского посланника лорда Эбердина следующий ультиматум… — Нессельроде, Карл Роберт, или Карл Васильевич (1780–1862) — граф, министр иностранных дел России (1816–1856); в 1812 г. находился при армии, исполняя различные дипломатические поручения; участник Венского конгресса 1814–1815 гг. и конгрессов Священного союза в Ахене, Троппау-Лайбахе и Вероне; с 1845 г. канцлер; в 1856 г. уволен в отставку; в своей дипломатической деятельности не проявил себя как способный политик и был послушным исполнителем воли монарха; поддерживая европейскую реакцию и ориентируясь на союз с Австрией и Пруссией, зачастую уступал им в ущерб интересам России.




В-четвёртых,
представление о разрешённой операции,
в его общем виде, шире сферы задач на
построение. Оно существенно и для
компьютерной науки (Computer Science), и для
компьютерной практики, а именно для
программирования. Каждый компьютер
имеет свой набор разрешённых операций,
а каждая компьютерная программа есть
некоторая цепочка операций, выбранных
из этого набора.




Именно
в силу своего философского аспекта
задачи на построение должны занимать
достойное место в школьном курсе
геометрии. Мы не имеем в виду сложных
задач, требующих зачастую большой
изобретательности, - такие задачи должны
изучаться в специализированных
математических классах. Нет, мы имеем
в виду самые простые задачи вроде задачи
о построении правильного треугольника
или задачи о нахождении середины отрезка.

Эбердин, Джордж Гордон, граф (1784–1860) — английский политический деятель и дипломат; в 1813–1814 гг. посол в Вене, в 1828–1830 и в 1841–1846 гг. министр иностранных дел, в 1834–1835 гг. министр колоний и военный министр, в 1852–1855 гг. премьер-министр; проводил политику противодействия России, приведшую к Крымской (Восточной) войне 1853–1856 гг.




Упомянутый здесь ультиматум — это т. н. Франкфуртская декларация союзников, предложенная осенью 1813 г. Наполеону по инициативе Меттерниха, который стремился сохранить Империю в качестве противовеса растущему влиянию России. Суть этой декларации была высказана Меттернихом 9 ноября 1813 г. во Франкфурте в разговоре с задержанным там Сент-Эньяном (в присутствии Эбердина и Нессельроде). При этом было заявлено, что эти предложения отражают и мнение прусского канцлера К. А. Гарденберга (1750–1822). Условиями мира выдвигалось возвращение Франции к ее «естественным границам» по Рейну, Альпам и Пиренеям, установленным Люневильским миром (1801). От всех прочих владений Наполеон должен был отказаться. Эти предложения Сент-Эньян привез в Париж 14 ноября 1813 г.






Глава
6. Массовые задачи и алгоритмы

… уйти из Италии, еще не тронутой и оккупированной Мюратом и принцем Евгением… — Принц Евгений — Богарне, Евгений (Эжен; 1781–1824), сын Жозефины, первой жены Наполеона, от ее первого брака; французский полководец, соратник Наполеона; вице-король Итальянского королевства (1805–1814), герцог Лёйхтенбергский (1817); в войне 1809 г. командовал армией в Италии; после первых неудач нанес австрийским войскам несколько поражений и оттеснил их в Венгрию; в войне 1812 г. командовал итальянским корпусом.




Поздней осенью 1813 г. в Италии ширилось недовольство наполеоновским владычеством, вызванное экономическими затруднениями и огромными потерями в войнах Наполеона в России, Испании и Германии. На севере страны, в вассальном Итальянском королевстве, вице-король Евгений Богарне с оружием в руках продолжал защищать территории, вверенные его управлению, однако в апреле 1814 г. после падения Наполеона он был вынужден капитулировать. Попытки его сторонников возвести Евгения на престол были сорваны в результате народного восстания в Милане.







Мюрат, король вассального Неаполитанского королевства на юге Италии, после поражения императора под Лейпцигом начал переговоры с союзниками. В обмен на сохранение за ним престола он выступил с войсками Неаполя против Богарне и способствовал его капитуляции.

В который
уже раз подчеркнем, что задача - это
всегда требование что-то найти, построить,
указать. В школе это «что-то» обычно
называют ответом, а систему
рассуждений, приводящую к ответу, -
решением . Во «взрослой» математике
ответ чаще всего тоже называют решением.
Таким образом, термин «решение»
приобретает два значения: ‘решение-ответ’
и ‘решение-процесс’ - причём первое
есть результат второго. С точки зрения
русской лексики ситуация здесь отнюдь
не уникальна: например, печенье как
изделие есть результат печения как
действия по глаголу «печь». К путанице
подобная полисемия, как правило, не
приводит: из контекста всегда бывает
ясно, что имеется в виду. Так что согласимся
употреблять «взрослую» терминологию.






… Предложения… были сообщены Законодательному корпусу… — Законодательный корпус — по Конституции VIII года, сохранившей свою силу при Империи, нижняя палата парламента; состоял из 300 членов не моложе 30 лет и ежегодно обновлялся на одну пятую. Первоначально в его функции входило только утверждение (без обсуждения) законов, выработанных правительством. При Империи в составе корпуса было создано несколько т. н. «общих комитетов», на заседании которых проходило обсуждение законопроектов. На пленарных заседаниях по-прежнему проводилось лишь голосование.

В
замечательной одноактной пьесе «Урок»
Эжена Ионеско есть такой диалог, который
мы приведём с купюрами.






… Во время своей последней поездки в Париж Наполеон навязал корпусу председателя, не представив предварительно кандидата на эту должность. — Этим председателем был Ренье. Клод Амбруаз (1746–1814) — сын торговца, адвокат, депутат Генеральных штатов 1789 г.; сторонник Бонапарта, участник переворота 18 брюмера; член Государственного совета, главный судья, т. е. фактически министр юстиции; в 1809 г. получил титул герцога; в 1813 г. был назначен председателем Законодательного корпуса, что не помешало ему выступить в 1814 г. за низложение Наполеона I.

«Учитель.
‹…› Сколько будет, ну, скажем, если три
миллиарда семьсот пятьдесят пять
миллионов девятьсот девяносто восемь
тысяч двести пятьдесят один умножить
на пять миллиардов сто шестьдесят два
миллиона триста три тысячи пятьсот
восемь?






Ученица.
Это будет девятнадцать квинтиллионов
триста девяносто квадриллионов два
триллиона восемьсот сорок четыре
миллиарда двести

… У нас не вызывает особого восхищения г-н Баур-Лормиан. — Баур-Лормиан, Пьер Франсуа Мари (1770–1854) — французский переводчик, поэт и драматург, прославлявший в своих стихах императора Наполеона I, а позднее — Бурбонов; выполнил вольный перевод «Освобожденного Иерусалима» Т. Тассо (признанный малоудачным), а также «Песен Оссиана» Д. Макферсона; автор ряда трагедий (в их числе «Мехмед II», 1810), сатир и других произведений; противник романтизма.






девятнадцать
миллионов сто шестьдесят четыре тысячи
пятьсот восемь

… Мы имеем в виду слова Мехмеда II о корпусе янычар, столь сильно презираемых султанами… — Мехмед II Завоеватель (1432–1481) — турецкий султан, сын Мурада II; первый раз сменил отца на троне в 1444 г., окончательно — в 1451 г.; в 1453 г. завоевал Константинополь, положив конец существованию Византийской империи; ликвидировал независимость Сербии, завоевал Морею, Трапезунд, Боснию, подчинил Крымское ханство и т. д.




‹…›

Янычары — турецкая регулярная пехота, созданная во второй пол. XIV в.; первоначально комплектовалась из юношей, угнанных в рабство, позднее — путем насильственного отбора мальчиков из христианского населения; обращенные в ислам, они считались рабами султана, жили на его содержании в казармах, не имели семьи и хозяйства; с кон. XVI — нач. XVII в. началось разложение их корпуса: янычары стали заводить семьи, заниматься ремеслами и торговлей и постепенно превратились в орудие дворцовых переворотов; в 1826 г. корпус янычар был физически уничтожен султаном Махмудом II (1784–1839).






… трон Мехмеда III зашатался и его «янычары» возроптали. — Мехмед III (1566–1603) — турецкий султан с 1595 г., отличавшийся изнеженностью и кровожадностью. Время его правления — начало упадка Османской империи, кризиса административной и военной системы страны, многочисленных восстаний крестьян и даже мелких феодалов, а также покоренных народов.

Учитель
(сосчитав в уме, с нарастающим
изумлением). Да… Вы правы… ответ,
действительно… (невнятно бормочет)
квадриллионов… триллионов… миллиардов…
миллионов… (разборчиво) сто
шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь…
(Ошеломленно.) Но каким образом вы
это вычислили, если вам недоступны
простейшие приемы арифметического
мышления?

Однако здесь под Мехмедом III (т. е. «вторым» Мехмедом II) имеется в виду Наполеон, а под янычарами — его окружение, которое к весне 1814 г. определенно отвернулось от императора и высказалось за его отречение.






Ученица.
Очень просто. Поскольку я не могу
положиться на свое арифметическое
мышление, я взяла и выучила наизусть
все результаты умножения, какие только
возможны».

… Была назначена комиссия из пяти докладчиков — господ Лене, Галлуа, Флогерга, Ренуара и Мена де Бирана… — Лене, Жозеф (1767–1835) — французский политический деятель, адвокат; с 1808 г. член Законодательного корпуса; 26 декабря 1813 г. от имени чрезвычайной комиссии сделал смелый доклад, призывавший к миру, после чего Наполеон назвал его английским агентом.




Галлуа, Жан Антуан Ковен (1761–1828) — французский политический деятель; поддержал государственный переворот 18 брюмера; президент Трибуната, префект департамента Ду; в 1814 г. голосовал за низложение Наполеона I.

Всех
результатов умножения бесконечно много,
так что выучить их наизусть невозможно.
Да и не нужно: Ионеско справедливо
утверждает, что «математика - заклятый
враг зубрёжки». (Кстати, теоретическая
невозможность выучить все результаты
получила в приведённом диалоге и
экспериментальное подтверждение. Дело
в том, что Ученица дала неправильный
ответ: правильным ответом является
число 19 389 602 947 179 164 508, а ею названо число
19 390 002 844 219 164 508. Не берусь судить, получил
ли этот факт должное отражение в
ионесковедении.)

Флогерг, Пьер (1767–1836) — французский административный и политический деятель, с 1813 г. член Законодательного корпуса; в 1814 г. голосовал за низложение Наполеона; в период Ста дней вице-президент Палаты депутатов; после Ватерлоо был одним из делегатов на переговорах с союзниками о прекращении военных действий.




Ренуар, Франсуа Жюст Мари (1761–1836) — французский политический деятель, поэт, драматург, филолог; с 1805 г. член Законодательного корпуса, участвовал в составлении доклада, представленного Ж. Лене и вызвавшего гнев Наполеона; автор трагедий «Катон Утический» (1794), «Тамплиеры» (1805), «Генеральные штаты в Блуа» (1810); несмотря на успех некоторых созданных им произведений, литературная слава его быстро померкла; в 1807 г. был избран во Французскую академию; в 1817–1826 гг. ее постоянный секретарь.

Но мы
ведь умеем умножать. Это потому, что ещё
в начальной школе нам сообщают некоторый
общий способ умножения любых целых
чисел, а именно способ умножения
столбиком. Любой человек, овладевший