Настройки шрифта

| |

Фон

| | | |

 

Приступая к построению математики на основе теории множеств (или даже на логистической или формалистской основе), можно выбрать ту или иную из возможных исходных позиций. Можно запретить себе использовать аксиому выбора и гипотезу континуума. Приняв такое решение, мы ограничим круг теорем, доказываемых в рамках системы. «Основания математики» не включают аксиому выбора в число основных логических принципов, но при доказательстве теорем используют ее, формулируя в явном виде. В современной математике это главное. Можно поступить иначе и включить в число аксиом системы либо аксиому выбора, либо гипотезу континуума, либо оба утверждения вместе. Можно заменить отрицаниями либо одно утверждение, либо другое, либо оба. Отрицая аксиому выбора, можно отказаться от процедуры явного выбора представителей даже для счетной совокупности множеств. Отрицая гипотезу континуума, можно предположить, что 2N0 = N2 или что 2N0 = N3. Именно так, по существу, и поступил Коэн при построении своей модели.

— Я стараюсь на подобные встречи ходить с трезвой голо-рой. — Руслан надел темно-синие отутюженные брюки. Застегнув молнию, посмотрел в большое зеркало.

— Тебе не идет синий цвет, — заметила Екатерина.

Сказанное означает, что существует не одна, а много математик. Теория множеств (рассматриваемая отдельно от остальных оснований математики) может развиваться во многих направлениях (ср. [17]*). Кроме того, аксиому выбора можно использовать либо лишь для конечного числа множеств, либо для конечной, или счетной, совокупности множеств, либо для любой совокупности множеств. Все эти возможные варианты были реализованы разными математиками.

— Так помоги выбрать, — раздраженно сказал он и снял брюки.

С появлением коэновских доказательств независимости математика оказалась в еще более затруднительном положении, чем это было при создании неевклидовой геометрии. Как мы уже говорили (гл. VIII), осознав независимость аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии, математики сумели построить несколько неевклидовых геометрий. Результаты Коэна поставили математиков перед проблемой выбора: какому из многочисленных вариантов двух аксиом (аксиомы выбора и гипотезы континуума) следует отдать предпочтение перед другими? Даже если ограничиться теоретико-множественным подходом к математике, число возможных вариантов оказывается ошеломляюще большим.

— Давай выпьем. — Она подала ему второй бокал.

— Хорошо, но сначала...

Остановить свой выбор на одном из многих вариантов нелегко, так как в любом случае принятие определенной редакции аксиом имеет свои и положительные, и отрицательные стороны. Отказ от любого использования аксиомы выбора и гипотезы континуума, т.е. как от самих аксиом, так и от их отрицаний, как мы уже отмечали, резко сужает круг утверждений, которые могут быть доказаны в рамках определенной формальной системы, и вынуждает отказаться от многих фундаментальных результатов современной математики. Аксиома выбора необходима даже для доказательства того, что любое бесконечное множество S содержит счетное или несчетное бесконечное собственное подмножество. Теоремы, доказательства которых требуют использования аксиомы выбора, играют важную роль в современном математическом анализе, топологии, абстрактной алгебре, теории трансфинитных чисел и в других областях математики. Отказ от аксиомы выбора связал бы математику по рукам и ногам.

Екатерина вплотную подошла к нему, обняла за шею и впилась долгим поцелуем в губы. Руслан отпустил бокал и обхватил ее плечи. Звякнуло стекло.

Руслан оттеснил несопротивлявшуюся женщину к широкой кровати.

С другой стороны, принятие аксиомы выбора позволяет доказывать теоремы, мягко говоря, противоречащие интуиции. Одна из таких теорем известна под названием парадокса Банаха — Тарского. В нестрогой формулировке эта удивительная теорема звучит следующим образом. Пусть даны два шара — один размером с футбольный мяч, другой — размером с Землю. Оба шара можно разбить на конечное число неперекрывающихся частей так, что каждая часть одного шара будет конгруэнтна одной, и только одной, части другого шара. Иначе говоря, теорема Банаха — Тарского означает, что, разрезав земной шар на мелкие кусочки и пересложив их в другом порядке, мы можем получить футбольный мяч. Ранее, в 1914 г., был получен еще один парадоксальный результат (составляющий на самом деле частный случай парадокса Банаха — Тарского): было доказано, что, разбив шар на четыре части, мы можем переложить эти части так, что получатся два шара того же радиуса, что и исходный шар. В отличие от парадоксов, с которыми столкнулась в начале XX в. теория множеств, парадокс Банаха — Тарского и его ранее известный частный случай не являются противоречиями. Это логические следствия из аксиом теории множеств и аксиомы выбора.

— Милый! — раздался громкий женский голос. — Я приехала!

Отказ от общей аксиомы выбора приводит к странным следствиям. Один узкоспециальный результат, говорящий математикам несравненно больше, чем нематематикам, состоит в том, что каждое линейное множество измеримо. Иными словами, поскольку из аксиомы выбора следует существование неизмеримых множеств, аксиому выбора можно отрицать, предполагая, что каждое линейное множество измеримо. Для трансфинитных кардинальных чисел отрицание аксиомы выбора порождает другие странные следствия. Что же касается гипотезы континуума, то тут совершенно неизвестно, к каким важным следствиям может привести как принятие, так и отрицание аксиомы выбора. Но если предположить, что 2N0 = N2, то каждое множество вещественных чисел становится измеримым. Можно вывести много других новых следствий, но ни одно из них не имеет решающего значения.

Руслан испуганно дернулся. Екатерина, еще крепче обняв его шею, повисла на руках и обхватила его бедра ногами. Не удержавшись, он уронил ее на кровать.

— Руслан, — вновь позвала вошедшая Рита. Увидев зад Руслана в трусах и женские ноги, остановилась. Руслан пытался вырваться из объятий прилипшей к нему Екатерины.

Подобно тому как работа над аксиомой о параллельных привела к расчленению единого потока развития геометрии на множество рукавов, доказанная Коэном независимость аксиомы выбора и гипотезы континуума сделала реальной возможность раздробления математики — (прежде всего теоретико-множественной, хотя результаты Козна затронули и другие направления в основаниях математики) на множество различных направлений. Каждое из таких направлений вполне приемлемо, и не существует видимых причин для того, чтобы отдать предпочтение одному направлению перед другим. После выхода в свет работы Коэна (1963) было обнаружено немало новых утверждений, неразрешимых в системе Цермело — Френкеля; поэтому число способов, которыми можно выбирать аксиомы теории множеств, комбинируя аксиоматику Цермело — Френкеля с тем или иным (либо несколькими) неразрешимым утверждением, поистине безгранично. Доказательство независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума буквально потрясло математиков: их изумление можно разве лишь сравнить с тем чувством, которое испытал бы современный архитектор, если бы его убедили, что, внеся небольшие изменения в чертежи, по которым он строит учреждение, он может соорудить по ним средневековый рыцарский замок.

— Милый, — промурлыкала она, — давай перестанем, а то ты не уедешь...

— Катька! — узнав голос, закричала Рита. Екатерина оттолкнула Руслана.

Ныне математики, работающие в области теории множеств, надеются, что, модифицировав разумным образом аксиоматику этой части математики, они смогут выяснить, выводимы ли из общепринятого варианта аксиом теории множеств аксиома выбора и гипотеза континуума — каждая в отдельности или обе вместе. По мнению Гёделя, их надежды отнюдь не безосновательны. В этом направлении было предпринято немало усилий, однако пока они не увенчались успехом. Возможно, что когда-нибудь математики все же придут к единому мнению относительно того, какими аксиомами надлежит здесь пользоваться.

Он сделал назад два нетвердых шага и упал. Екатерина вскочила.

— Ты? — удивленно воскликнула она и сразу же гневно обратилась к поднимавшемуся Руслану. — Ты же сказал, что отправил ее на улицу!

Математический мир был потрясен не только работами Гёделя, Черча и Коэна. Последующие годы умножили заботы математиков. Исследования, начатые в 1915 г. Леопольдом Левенгеймом (1878-1940), а затем усовершенствованные и завершенные Торальфом Сколемом (1887-1963) в серии работ, осуществленных в 1920-1933 гг., выявили новые изъяны в математике. Суть теоремы, получившей название теоремы Левенгейма — Сколема, сводится к следующему. Предположим, что составлена система аксиом (логических и математических) для какой-то области математики или теории множеств, которая рассматривается как основа всей математики. Наиболее подходящим примером, пожалуй, может служить система аксиом для целых чисел. Составляя ее, математики стремились к тому, чтобы эти аксиомы полностью описывали положительные целые числа, и только целые числа, но, к своему удивлению, обнаружили совершенно иные интерпретации, или модели, тем не менее удовлетворяющие всем аксиомам. Например, в то время как множество целых чисел счетно, т.е. — если воспользоваться обозначениями Кантора — существует N0 целых чисел, в других интерпретациях возникают множества, содержащие столько же элементов, сколько их содержит множество всех вещественных чисел, и множества, отвечающие еще большим трансфинитным числам. Происходит и обратное. Так, предположим, что некий математик составил систему аксиом для теории множеств таким образом, что они позволяют описывать и описывали несчетные совокупности множеств. Нередко он обнаруживает счетную (перечислимую) совокупность множеств, удовлетворяющую всем аксиомам, и другие трансфинитные интерпретации, совершенно отличные от тех, которые он имел в виду, составляя свою систему аксиом. Более того, выяснилось, что каждая непротиворечивая система аксиом допускает счетную модель.

— Рита, — обернувшись, пробормотал он. — Я...

— Сволочь! — Шагнув к нему, Екатерина сильно ударила его по шее.

Что это означает? Предположим, кому-то пришла в голову мысль составить перечень характерных черт, присущих, по его мнению, американцам, и только американцам. К своему удивлению, в действительности он обнаруживает людей, обладающих всеми перечисленными им отличительными особенностями американцев и сверх того наделенных множеством собственных специфических черт. Иначе говоря, система аксиом, составленная для описания одного-единственного класса математических объектов, явно не соответствует своему назначению. Теорема Гёделя о неполноте свидетельствует о том, что любая система аксиом не позволяет доказать (или опровергнуть) все теоремы той области математики, для описания которой данная система аксиом предназначена. Теорема Левенгейма — Сколема утверждает, что любая система аксиом допускает намного больше существенно различных интерпретаций, чем предполагалось при ее создании. Аксиомы не устанавливают пределов для интерпретаций, или моделей. Следовательно, математическую реальность невозможно однозначно включить в аксиоматические системы.{145}

— Козел! — закричала Рита. Размахнувшись, ударила его сумочкой.

Одна из причин появления «побочных» интерпретаций состоит в том, что в каждой аксиоматической системе имеются неопределяемые понятия. Ранее считалось, что аксиомы неявно «определяют» эти понятия. В действительности же одних аксиом недостаточно. Следовательно, неопределяемые понятия могут трансформироваться каким-то заранее непредсказуемым образом.

— Забирай, — презрительно бросила Екатерина, — своего...

— Это все она, — перебил ее Руслан. — Я говорил, чтобы она ушла!

Теорема Левенгейма — Сколема не менее удивительна, чем теорема Гёделя о неполноте. Она нанесла еще один удар по аксиоматическому методу, который с начала XX в. и вплоть до недавнего времени считался единственно разумным подходом и который поныне используется логицистами, формалистами и представителями теоретико-множественного направления.

— Гадина! — Рита шагнула к Екатерине. Сумочка на длинном ремне, описав полукруг, задела большую люстру. Екатерина, метнувшись вперед, сильно толкнула Риту в грудь. Она упала. Екатерина пнула ее. Рита поймала ее ногу и рванула к себе. Взмахнув руками, Екатерина упала. Чуть приподнявшись, женщины бросились друг к другу. Обменявшись несколькими ударами, пустили в ход ногти. Руслан под их визг выскользнул за дверь.

Теорему Левенгейма — Сколема, однако, нельзя считать полностью неожиданной. Действительно, теорема Гёделя о неполноте утверждает, что каждая аксиоматическая система неполна. Существуют неразрешимые утверждения. Пусть p — одно из таких утверждений. Ни p, ни его отрицание — утверждение «не p» — не вытекает из аксиом. Следовательно, мы могли бы исходить из более широкой системы аксиом, включив в нее либо исходную систему аксиом и p, либо исходную систему аксиом и «не p». Эти две системы аксиом существенно различны, поскольку их интерпретации не могут быть изоморфными. Иначе говоря, из неполноты следует некатегоричность. Но теорема Левенгейма — Сколема содержит гораздо более сильное и радикальное отрицание категоричности. Она утверждает, что и без введения какой-либо дополнительной аксиомы существуют принципиально различные (неизоморфные) интерпретации, или модели. Разумеется, аксиоматическая система непременно должна быть неполной, ибо в противном случае неизоморфные интерпретации были бы невозможны.

— Вот оно как. — Потрогав шею, поморщился. — Ну что же, разбирайтесь.

Надеюсь, вы убьете друг друга. — Шагнув к лестнице, вспомнил, что он в одних трусах, выругался и вошел в соседнюю комнату.

Анализируя собственный результат, Сколем в работе 1923 г. пришел к выводу о непригодности аксиоматического метода в качестве основы для теории множеств. Даже Джон фон Нейман был вынужден признать в 1925 г., что на предложенных им и другими авторами системах аксиом теории множеств лежит «печать нереальности… Категорическая аксиоматизация теории множеств не существует… А поскольку нет ни одной аксиоматической системы для математики, геометрии и т.д., которая не предполагала бы теорию множеств, заведомо не существуют категоричные аксиоматические бесконечные системы». Это обстоятельство, продолжает Нейман, «свидетельствует, как мне кажется, в пользу интуиционизма».

Перепачканные кровью женщины — у Риты лопнули швы на виске, — вцепившись друг другу в волосы, возились на полу. Чувствуя, что слабеет, Рита отпустила волосы Екатерины, уперлась ей в грудь обеими руками, сильно оттолкнулась и дернула голову. Взвизгнув от боли — в руке Астаховой остались клоки ее волос, — Рита вскочила и сунула в сумочку руку. Екатерина схватила бокал с шампанским, рванулась к Рите. Та выхватила газовый пистолет. Екатерина плеснула вино ей в лицо и, крепко сжав тонкую ножку бокала, с силой ударила Риту в живот. Выронившая пистолет Рита пыталась протереть глаза от попавшего в них шампанского и громко закричала. Екатерина ухватила ее за волосы и рванула руку вниз. Рита упала. Опустившись рядом с ней на колени, Екатерина несколько раз ударила Риту ножкой бокала с неровными острыми краями в лицо и шею. Рита попыталась остановить ее. Но Екатерина схватила валявшийся рядом газовый пистолет за ствол и, размахнувшись, опустила рукоятку на голову Риты.

Математики пытались успокоить себя, вспоминая историю с неевклидовой геометрией. Когда после многовековой борьбы с аксиомой параллельности Лобачевский и Бойаи предложили свою неевклидову геометрию, а Риман указал еще одну неевклидову геометрию, математики сначала были склонны отмахнуться от новых геометрий, ссылаясь при этом на ряд причин. Одной из них было бездоказательное утверждение о возможной противоречивости новых геометрий. Однако, как показали найденные впоследствии интерпретации, неевклидовы геометрии оказались непротиворечивыми. Например, удвоенную эллиптическую геометрию Римана, которая по замыслу автора должна была относиться к фигурам на обычной плоскости, удалось интерпретировать как геометрию фигур на поверхности сферы, т.е. она обрела модель, существенно отличную от исходной авторской интерпретации (гл. VIII). Открытие новой модели, или интерпретации, было встречено с энтузиазмом, что вполне понятно: ведь существование такой модели доказало непротиворечивость геометрии. Кроме того, новая модель не приводила ни к каким расхождениям в числе объектов — точек, линий, плоскостей, треугольников и т.д. — по сравнению с исходной авторской интерпретацией. Выражаясь языком математики, обе интерпретации были изоморфны. Теорема Левенгейма — Сколема охватывает неизоморфные, существенно различные интерпретации аксиоматических систем.

Два парня, стоя около машины, курили.

Говоря об абстрактности математического мышления, Пуанкаре как-то заметил, что математика — это искусство давать различным вещам одинаковые названия. Так, понятие группы отражает свойства целых чисел и матриц относительно сложения, а также геометрических преобразований и других математических объектов. Теорема Левенгейма — Сколема подтверждает высказывание Пуанкаре, но придает ему обратный смысл. Аксиомы групп отнюдь не предназначены для того, чтобы указывать на необходимость одинакового объема и характера всех мыслимых интерпретаций (поэтому аксиомы групп не являются категоричными, как и аксиомы евклидовой геометрии, если опустить аксиому о параллельных). Аксиоматические системы, к которым применима теорема Левенгейма — Сколема, предназначаются для задания одной вполне конкретной интерпретации, и, будучи применимыми к совершенно различным моделям, они тем самым не соответствуют своему назначению.

— Идите, — мотнул головой назад вышедший из коттеджа Руслан, — ваша хозяйка насмерть с Мадлен сошлась. Только осторожнее, — остановившись, усмехнулся он, — в холле два ее боевика. — Парни сунули руки в карманы и рванулись к двери.

Кого боги вздумают погубить, того они прежде всего лишают разума. Возможно, боги сочли, что после работ Гёделя, Коэна, Левенгейма и Сколема математикам еще удалось сохранить остатки разума, — и подстроили новую ловушку, чтобы довести тех до полного безумия. Развивая свой вариант дифференциального и интегрального исчисления, Лейбниц ввел величины, названные им инфинитезимальными или бесконечно малыми (гл. VI). Бесконечно малая, по Лейбницу, отлична от нуля, но меньше 0,1, 0,01, 0,001 и любого другого положительного члена. Лейбниц утверждал также, что с бесконечно малыми величинами надлежит обращаться так же, как с обычными числами. Бесконечно малые величины были идеальными элементами, фикциями, однако приносили вполне ощутимую реальную пользу. Отношение двух бесконечно малых, по Лейбницу, определяло производную — одно из основных понятий математического анализа. И с бесконечно большими величинами Лейбниц обращался так же, как с обычными числами.

На протяжении всего XVIII в. математики вели борьбу с понятием бесконечно малой величины, производили с бесконечно малыми действия по произвольным, ничем не обоснованным и даже противоречащим логике правилам и в конце концов отвергли бесконечно малые величины как лишенные всякого смысла. Коши своими трудами не только наложил запрет на бесконечно малые величины, но и вообще ликвидировал необходимость обращения к ним. Тем не менее поиск законных оснований для использования бесконечно малых исподволь продолжался. На вопрос Гесты Миттаг-Леффлера (1846-1927), не могут ли кроме рациональных и всех вещественных чисел (и, так сказать, «между» этими двумя классами чисел) существовать числа иного рода, Кантор дал резко отрицательный ответ. В 1887 г. он опубликовал работу, где доказал логическую невозможность существования бесконечно малых, основываясь, по существу, на так называемой аксиоме Архимеда, утверждающей, что для любого вещественного числа a найдется такое целое число n, при котором величина na будет больше любого наперед заданного вещественного числа b. Пеано также опубликовал работу, в которой доказывал, что бесконечно малые величины не существуют. К такому же выводу пришел в своих «Принципах математики» (1903) и Бертран Рассел.

Екатерина била неподвижно лежавшую с окровавленным лицом Риту то левой с зажатым в ней газовым пистолетом, то правой рукой с отбитым бокалом. Два хлопнувших внизу выстрела остановили ее. Тряхнув спутанными волосами, она взглянула на Риту, бросила пистолет и осколок, прижала окровавленные руки к лицу и пронзительно закричала. В дверь с пистолетами в руках ворвались ее боевики. Увидев валявшуюся в луже крови обезображенную Мадлен и кричащую хозяйку, замерли.

Но даже суждения великих людей не следует принимать с поспешностью. Во времена Аристотеля, да и значительно позже, многие мыслители отвергали представление о шарообразности Земли как лишенное смысла на том основании, что в таком случае наши «антиподы» должны были бы ходить по земле вниз головой. Однако сколь ни «убедительны» были их доводы, Земля, как оказалось, все же имеет шарообразную форму. Аналогичным образом, несмотря на все доказательства, изгонявшие лейбницевские бесконечно малые из математики, некоторые исследователи упорно пытались создать логическую теорию бесконечно малых.

— Валить отсюда надо, — буркнул один и сделал шаг назад.

Поль Дюбуа-Реймон, Отто Штольц и Феликс Клейн были уверены в осуществимости построения непротиворечивой теории на основе понятия бесконечно малой. Более того, Клейн указал, от какой именно аксиомы вещественных чисел (аксиомы Архимеда) необходимо отказаться, чтобы такая теория стала возможной. В 1934 г. Сколем ввел новые числа (получившие название гипервещественных), отличные от обычных вещественных чисел, и установил некоторые их свойства. Кульминацией исследований некоторых математиков в этой области стало создание новой теории, узаконившей бесконечно малые. Наиболее существенный вклад внес в эту теорию Абрахам Робинсон (1918-1974).

— Арсен потом голову оторвет, — возразил водитель и бросился к Екатерине. Обхватив ее плечи одной рукой, прижал ладонь к раскрытому в пронзительном крике рту, но, закричав, отдернул руку. Тряхнул ладонью со следами зубов, позвал стоявшего у двери второго:

Новая система — так называемый нестандартный анализ (ср. элементарную брошюру [85] или учебники [76]*, [86] и [87]) — вводит гипервещественные числа, включающие в себя обычные («старые») вещественные числа и бесконечно малые. Последние определяются практически так же, как у Лейбница: положительная бесконечно малая есть число, которое меньше любого обычного положительного вещественного числа, но больше нуля{146} (аналогично отрицательная бесконечно малая больше любого отрицательного вещественного числа, но меньше нуля). Бесконечно малые в нестандартном анализе являются фиксированными числами, а не переменными величинами в смысле Лейбница и не переменными величинами, стремящимися к нулю, как понимал иногда бесконечно малые величины Коши и как понимают их сегодня в стандартных учебниках «высшей математики». Кроме того, нестандартный анализ вводит новые бесконечные элементы, обратные бесконечно малым, но не являющиеся трансфинитными числами Кантора. Каждое конечное гипервещественное число r представимо в виде x + α, где x — обычное вещественное число, а α — бесконечно малая.

— Помоги!

Понятие бесконечно малого элемента позволяет говорить о бесконечно близких гипервещественных числах. Два гипервещественных числа называются бесконечно близкими, если их разность бесконечно мала. Следовательно, каждое гипервещественное число бесконечно близко некоторому (обычному) вещественному числу, так как разность между ними бесконечно мала. Обращаться с гипервещественными числами можно так же, как с обычными вещественными числами.{147}

Тот рванулся вперед. Вдвоем они, зажав полотенцем рот мычащей и пытающейся вырваться Екатерине, прижали ее к полу.

Новая система гипервещественных чисел позволяет вводить функции, принимающие обычные вещественные или гипервещественные значения. На языке гипервещественных чисел можно по-новому определить непрерывность функции: функция f(x) непрерывна при x = a, если разность f(x) − f(a) бесконечно мала, когда бесконечно мала разность x − a. Гипервещественные числа позволяют ввести определения производной и других понятий математического анализа и доказать все теоремы анализа. Но главное состоит в том, что в системе гипервещественных чисел обретает точность и доказательность подход к построению анализа, который ранее отвергался как недостаточно ясный и даже бессмысленный.{148}

— Тихо, — негромко сказал водитель. — Уходить надо. Здесь три трупа.

В какой мере система гипервещественных чисел способствует увеличению мощи математики? Пока введение гипервещественных чисел не привело к сколько-нибудь значительным новым результатам.{149} Важно другое: нестандартный анализ открыл новый путь, по которому одни математики пойдут охотно (уже появилось несколько книг по нестандартному анализу), тогда как другие по тем или иным причинам его отвергнут. С появлением нестандартного анализа с облегчением вздохнули лишь физики, поскольку они, невзирая на запрет Коши, всегда широко пользовались бесконечно малыми (впрочем, их привычки здесь столь устойчивы, что пока они не уделили особенно большого внимания «новому» анализу).

Надо уходить.

Развитие оснований математики с начала XX в. протекает поистине драматически, и современное состояние математики по-прежнему весьма плачевно, что вряд ли можно считать нормальным. Свет истины более не освещает путь, по которому следовало бы двигаться. Вместо единой, вызывавшей общее восхищение и одинаково приемлемой для всех математической науки, доказательства которой считались наивысшим достижением здравого смысла, хотя порой и нуждались в коррекции, мы имеем теперь различные, конфликтующие между собой подходы к математике. Несколько взаимоисключающих подходов имеется в рамках одного лишь теоретико-множественного направления, не говоря уже о существовании других самостоятельных направлений: логицизма, интуиционизма и формализма. В этих школах также выделяются различные и даже конфликтующие подходы. Так, конструктивистское направление, возникшее в недрах интуиционизма, разделилось на множество группировок. В рамках формализма принципы математики могут быть выбраны по-разному. Нестандартный анализ, не будучи порождением какой-либо одной школы, допускает различные подходы ко многим проблемам математического анализа, в свою очередь приводящие к различным и даже противоположным точкам зрения. То, что считается алогичным и отвергается одной школой, другая объявляет здравым и вполне приемлемым.

Итак, все попытки исключить возможные противоречия и доказать непротиворечивость математических построений до сих пор не увенчались успехом. Между математиками нет более единого мнения относительно того, принимать аксиоматический подход (и если принимать, то какой системе аксиом отдать предпочтение) или остановиться на неаксиоматическом интуиционистском подходе. Большинство современных математиков склонны рассматривать свою науку как совокупность различных аксиоматически определяемых структур, с одной стороны, позволяющих охватить все, что должно входить в математику, а с другой — охватывающих больше, чем положено. Современные математики расходятся во мнениях даже относительно того, какие методы рассуждений следует считать допустимыми. Закон исключенного третьего ныне не принадлежит к числу бесспорных принципов логики, и чистые доказательства существования, не дающие готового рецепта вычисления той величины, существование которой доказывается, ставятся под сомнение независимо от того, используется или не используется в них закон исключенного третьего. От претензий на безупречную доказательность своих рассуждений математикам пришлось отказаться. Возможность неоднозначного выбора аксиоматики и подходов привела к возникновению различных математик. Последние исследования в области оснований математики дошли до той черты, за которой открывается лишь первозданный хаос.

Интуиционисты представляли единственное направление в математике, сохранившее самообладание и выдержку в 30-е годы, когда описанные выше результаты сломили логицистов, формалистов и сторонников теоретико-множественного направления. Игра с логическими символами и принципами, захватившая умы гигантов математической науки, для интуиционистов была пустой забавой. \"Непротиворечивость математики очевидна, считали они, ибо ее гарантирует человеческий разум, постигающий истины на интуитивном уровне. Аксиому выбора и гипотезу континуума интуиционисты отвергали как неприемлемые, о чем заявил еще в 1907 г. Брауэр. Неполнота и существование неразрешимых утверждений не беспокоили интуиционистов, ибо они могли с полным основанием сказать представителям других направлений: «А что мы вам говорили?» Но даже интуиционисты неохотно отказывались от разделов математики, возникших еще в XIX в., но не удовлетворявших их требованиям. Интуиционисты считали неприемлемым доказывать существование математических объектов с помощью закона исключенного третьего и объявляли удовлетворительными только такие доказательства, которые позволяли сколь угодно точно вычислять величину, существование которой доказывается. Иначе говоря, интуиционисты боролись за конструктивные доказательства существования.

Итак, ни одна школа не имела права претендовать на то, что она представляет математику в целом. К сожалению, как отметил в 1960 г. Аренд Рейтинг, начиная с 30-х годов дух дружеского сотрудничества между школами уступил место духу непримиримого соперничества.

В 1901 г. Бертран Рассел сказал: «Один из величайших триумфов математики состоит в открытии того, что представляет собой математика в действительности». Ныне эти слова поражают нас своей наивностью. Уже сегодня различные школы по-разному воспринимают математику как таковую, и в будущем это различие в подходах, по-видимому, только усилится. Существующие ныне школы каждая по-своему пытались обосновать современную математику. Но если заглянуть в прошлое и вспомнить об аптечной математике, а также о математике XVII и XIX вв., то происшедшие изменения, разительные и драматические, станут особенно заметными. Представители некоторых современных школ в основаниях математики пытались подвести надежный фундамент под математику начала XX в. Быть может, их результаты послужат математике XXI в.? Интуиционисты воспринимают математику как живой и развивающийся организм. Но предсказывала ли их «интуиция» что-нибудь такое, с чем математикам не приходилось сталкиваться в прошлом? Даже в 30-е годы отрицательный ответ на такой вопрос заведомо не соответствовал бы истине. Следовательно, производимые время от времени пересмотры оснований математики просто необходимы.

Наш рассказ о событиях, развернувшихся в основаниях математики в XX в., мы хотели бы закончить следующей притчей. На берегах Рейна в течение многих веков возвышался прекрасный замок. Пауки, обитавшие в подвалах замка, затянули паутиной все его проходы. Однажды сильный порыв ветра разрушил тончайшие нити паутины, и пауки принялись поспешно восстанавливать образовавшиеся бреши: они считали, что замок держится на их паутине!

XIII

Математика в изоляции

Я решил отказаться от чисто абстрактной геометрии, т.е. от рассмотрения вопросов, служащих лишь для упражнения ума, чтобы заняться изучением геометрии иного рода, предмет которой составляет объяснение явлений природы. Рене Декарт
История математики знает не только величайшие взлеты, но и глубокие падения. Потеря истины, бесспорно, может считаться подлинной трагедией, ибо истины — драгоценнейшее из достояний человечества, и утрата даже одной из них — более чем основательная причина для огорчения. Осознание того, что сверкающая великолепием витрина человеческого разума далеко не совершенна по своей структуре, страдает множеством недостатков и подвержена чудовищным противоречиям, могущим вскрыться в любой момент, нанесло еще один удар по статусу математики. Но бедствия, обрушившиеся на математику, были вызваны и другими причинами. Тяжелые предчувствия и разногласия между математиками были обусловлены самим ходом развития математики за последние сто лет. Большинство математиков как бы отгородились от внешнего мира, сосредоточив усилия на проблемах, возникавших внутри самой математики, — по существу, они порвали с естествознанием. Это изменение в развитии математики нередко описывают как обращение к чистой математике, противопоставляемой прикладной математике (ср., например, [97]). Но оба термина — прикладная математика и чистая математика, — хотя мы также будем ими пользоваться, не вполне точно передают суть происходившего.

Что представляла собой математика? Для предыдущих поколений математика была прежде всего и главным образом тончайшим творением человеческого разума, предназначенным для исследования природы. Фундаментальные понятия, универсальные методы и почти все наиболее важные теоремы математики были разработаны и доказаны именно в процессе усовершенствования математики как инструмента познания мира. Естествознание было кровью и плотью математики и питало ее живительными соками. Математики охотно сотрудничали с физиками, астрономами, химиками и инженерами в решении различных научно-технических проблем, а часто и сами являлись выдающимися физиками и астрономами. В XVII-XVIII вв., а также на протяжении большей части XIX в. различие между математикой и теоретическим естествознанием отмечалось крайне редко.{150} Многие ведущие математики, работая в области астрономии, механики, гидродинамики, электромагнетизма и теории упругости, получили здесь несравненно более важные результаты, чем в собственно математике. Математика была царицей и одновременно служанкой естественных наук.

Мы уже рассказывали (гл. I-IV) о нескончаемых усилиях, которые с античных времен предпринимало человечество, чтобы выведать у природы ее «математические тайны». Столь высокая приверженность изучению природы отнюдь не ограничивала прикладную математику решением лишь физических проблем. Великие математики нередко выходили за рамки тех проблем, которые стояли перед естествознанием их времени. А поскольку они действительно были великими и полностью сознавали традиционную роль своей науки, им удавалось наметить направления исследований, которые оказывались немаловажными для теоретического естествознания или проливали свет на понятия, уже применявшиеся для исследования природы. Так, Пуанкаре, многие годы посвятивший астрономии (его перу принадлежит фундаментальный трехтомный труд «Новые методы небесной механики»), считал необходимым разрабатывать те вопросы теории дифференциальных уравнений, которые могли способствовать дальнейшему развитию астрономии.

Некоторые математические работы дополняли или завершали исследования, полезность которых была установлена ранее и ни у кого не вызывала сомнений. Так, совершенно очевидно, что если дифференциальные уравнения одного и того же типа неоднократно встречаются в приложениях, то разумно изучить дифференциальное уравнение общего вида, охватывающее все частные случаи. Это позволяет разработать более удобный или отличающийся большей общностью метод решения, а также получить наибольшее количество сведений о всем классе решений. Одна из отличительных особенностей математики, ее абстрактность, позволяет описывать на математическом языке самые различные физические явления. Так, волны на воде, звуковые и радиоволны математика описывает одним и тем же дифференциальным уравнением, известным под названием волнового уравнения. Те дополнительные сведения, которые математик обнаруживает, исследуя волновое уравнение (впервые выведенное при изучении звуковых волн), могли оказаться (и действительно оказывались) весьма полезными при решении, например, некоторых задач из теории радиоволн. Распознавание за внешне различными явлениями тождественных математических структур позволяет упрочить и понять многообразие теоретических построений, вызванных к жизни проблемами познания реального мира, и установить общую абстрактную основу описания таких явлений.

Доказательство теорем существования решений дифференциальных уравнений, впервые предпринятое Коши, должно было отмести все сомнения в том, что физические проблемы, сформулированные на языке математики, допускают решение, и тем самым вселить уверенность в том, что поиск этих решений будет не напрасным. Так чисто математические работы, посвященные доказательству теорем существования, облекались физической плотью. Стимулом для работ Кантора по теории бесконечных множеств, породивших обширную литературу, было стремление ответить на некоторые вопросы теории бесконечных рядов — так называемых рядов Фурье{151}, которые широко использовались в разного рода приложениях.

Развитие математики приводило к постановке и настоятельному поиску решения проблем, не связанных непосредственно с проблемами естествознания. Так, в XIX в. (гл. VIII) математики поняли, что определения многих понятий страдают расплывчатостью, а в математических рассуждениях и доказательствах немало пробелов. Движение за математическую строгость, принявшее необычайно широкий размах, не ставило целью решение каких бы то ни было естественнонаучных проблем, как не преследовали такой цели и позднее возникшие различные школы, пытавшиеся перестроить основания математики. И все же гигантская работа по перестройке оснований математики, производимая в интересах самой этой науки, несомненно, явилась откликом на насущные проблемы не только чистой, но и прикладной математики.

Многие чисто математические работы дополняют и подкрепляют своими результатами старые, хорошо разработанные области математики или способствуют открытию новых направлений, которые обещают стать важными для различных приложений. Такого рода работы можно рассматривать как прикладную математику в самом широком смысле.

Но разве сто лет назад и ранее, спросит читатель, не было математики, созданной лишь ради нее самой, безотносительно к каким бы то ни было приложениям? Разумеется, была. Великолепный примером чистой математики может служить теория чисел. Хотя пифагорейцы считали, что, изучая целые числа, они постигают сокровенные тайны внутреннего строения материальных объектов (гл. I), впоследствии теория чисел стала совершенно самостоятельной наукой. Одним из первых математиков, изучавших числа «сами по себе», был Ферма. Начало проективной геометрии положили художники эпохи Возрождения, стремившиеся к реализму в живописи, а Жирар Дезарг и Блез Паскаль превратили проективную геометрию в последовательный метод получения новых результатов евклидовой геометрии. Но в XVIII в. работы Дезарга и Паскаля были забыты, а когда в XIX в. математики вновь обратились к проективной геометрии, они занимались ей главным образом из чисто эстетических побуждений, хотя от внимания наиболее проницательных геометров не ускользнули важные связи между проективной и неевклидовой геометриями. Многие проблемы были решены сами по себе только потому, что они заинтересовали кого-то из математиков и тем захотелось испытать свои силы.

Чистая математика, полностью оторванная от запросов естествознания, никогда не находилась в центре забот и интересов математиков. Ей отводилась роль своего рода забавы, отдохновения от гораздо более важных и увлекательных проблем, выдвигаемых естественными науками. Так, создатель теории чисел Ферма большую часть своего времени отдавал разработке аналитической геометрии, решению различных задач математического анализа и оптики (гл. VI). Он попытался заинтересовать теорией чисел Паскаля и Гюйгенса, но потерпел неудачу.{152} В XVIII в. столь абстрактная наука, как теория чисел, привлекала лишь очень немногих математиков.

Эйлер, научные интересы которого были весьма разносторонними, не обошел вниманием и теорию чисел. Однако Эйлер был не только величайшим из математиков XVIII в., но и признанным авторитетом в области математической физики. Его работы поражают необычайной широтой: от глубоких математических методов решения физических проблем, например методов решения дифференциальных уравнений, до астрономии, гидродинамики, рационального конструирования судов и парусов, артиллерии, картографии, теории музыкальных инструментов и оптики.

Теорией чисел занимался и Лагранж, но основное время он уделял математическому анализу — области математики, жизненно важной для приложений (гл. III). Его шедевром по праву считается «Аналитическая механика» (Mécanique analitique), посвященная применению математических методов, в механике. В 1777 г. Лагранж пожаловался одному из друзей: «Исследования по теории чисел стоят мне наибольших усилий, но, должно быть, имеют наименьшую ценность». Гаусс также посвятил теории чисел одну из своих величайших работ «Арифметические исследования» (Disquisitiones arithmeticae, 1801), которая по праву считается классической. Тот, кто прочитал только этот труд Гаусса, мог бы подумать, что автор «Арифметических исследований» — чистый математик. Но главной областью его деятельности была прикладная математика (гл. VI). Феликс Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX в.» [98] называет «Арифметические исследования» юношеской работой Гаусса.

Хотя Гаусс в дальнейшем неоднократно возвращался к теории чисел, он явно не считал ее важнейшим разделом математики. Ему нередко предлагали заняться доказательством Великой теоремы Ферма, гласящей, что при n > 2 никакие целые числа x, y и z не удовлетворяют соотношению xn + yn = zn [99]. Но в письме Вильгельму Ольберсу от 21 марта 1816 г. Гаусс заметил, что гипотеза Ферма — это изолированная, ни с чем не связанная теорема и поэтому не представляет особого интереса. Имеется немало гипотез, добавил Гаусс, которые пока не удалось ни доказать, ни опровергнуть, но сильная занятость другими делами не оставляет времени для задач того типа, которые рассмотрены в «Арифметических исследованиях». Гаусс надеялся, что гипотезу Ферма удастся доказать на основе другой выполненной им работы, но и тогда теорема Ферма будет одним из наименее интересных следствий из более общих его результатов.

Обычно в подтверждение того, что Гаусс, якобы, отдавал предпочтение чистой математике, приводят его знаменитое высказывание: «Математика — царица всех наук, арифметика — царица математики. Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, останется за ней». Однако вся научная деятельность Гаусса свидетельствует об обратном, и, возможно, это нехарактерное для Гаусса высказывание, должно быть, вырвалось у него под влиянием минуты. Подлинный же девиз всей его деятельности такой: «Ты, природа, моя богиня, твоим законам я преданно служу». По иронии судьбы именно необычайно тщательный подход Гаусса ко всему, что касалось согласованности математики с природой, привел — через его работы по неевклидовой геометрии — к глубоким и драматическим последствиям, подорвав веру Гаусса в истинность математических законов. В целом же по поводу математики до начала XX в. можно сказать, что хотя чистая математика уже и существовала, не было ни одного чистого математика.

Несколько событий в корне изменили отношение математиков к их собственной науке. Первым в ряду таких событий стало осознание того, что математика не является более сводом незыблемых истин о природе (гл. IV). Гаусс отчетливо показал это на примере геометрии, а появление кватернионов и матриц с их некоммутативным умножением ускорило понимание того, что даже обычная арифметика целых чисел не может рассматриваться как априорное знание — обстоятельство, которое Гельмгольц довел до сведения всего математического мира. Хотя это открытие не поставило под сомнение приложимость математики к описанию реального мира, но все же оправданием усилий математиков более не могла считаться надежда на отыскание абсолютной истины или единого закона всего сущего.

Столь выдающиеся достижения математической мысли, как неевклидова геометрия и кватернионы, казалось, явно не согласуются с природой, хотя их создатели и исходили из физических соображений.{153} Тем не менее и неевклидова геометрия, и кватернионы, как выяснилось впоследствии, вполне применимы к описанию реального мира. Осознание того, что творения человеческого ума, равно как и все понятия, традиционно считавшиеся внутренне присущими «плану мироздания», весьма пригодны для описания природы, вскоре привело к развитию совершенно нового подхода к математике. Почему это не может случиться с творениями человеческого разума и в будущем? Многие математики пришли к выводу, что заниматься решением проблем, так или иначе связанных с реальным миром, совершенно не обязательно: ведь и математика как свод идей, зародившихся в человеческом разуме, рано или поздно непременно окажется полезной. Более того, чистое мышление, не стесняемое необходимостью следовать за физическими явлениями, обретает большую свободу и соответственно продвигается дальше. Человеческое воображение, не знающее оков, создает более мощные теории, которые способствуют более глубокому пониманию реального мира и овладению природой.

Были и другие причины, побудившие математиков отойти от изучения реального мира. Широкий размах математических и естественнонаучных исследований не позволял ученым чувствовать себя одинаково свободно и в математике, и в естественных науках. Стоящие перед естествознанием проблемы, подобные тем, в решении которых ранее неизменно принимали участие великие математики, ныне становились все более сложными. Так почему бы, решили математики, не ограничить свою деятельность рамками чистой математики и тем не облегчить себе работу?

Существовала еще одна причина, вынудившая многих математиков обратиться к проблемам чистой математики. Естественнонаучные проблемы редко удается решить окончательно раз и навсегда. Обычно ученые получают все лучшее приближение, но отнюдь не полное решение задачи. Основные научные проблемы, например проблема трех тел, т.е. описания движения трех тел (скажем, Солнца, Земли и Луны), каждое из которых притягивает два других тела, по-прежнему остаются нерешенными. Как заметил Фрэнсис Бэкон, изощренность природы неизмеримо превосходит человеческую мудрость. А чистая математика, напротив, дает нам примеры четко поставленных проблем, допускающих полное решение. Для человеческого разума такие четко поставленные и до конца решаемые проблемы обладают особой привлекательностью в отличие от проблем недосягаемой глубины и неисчерпаемой сложности. Немногие проблемы, устоявшие перед натиском математиков нескольких поколений (например, гипотеза Гольдбаха), формулируются подкупающе просто.

Дергая руками и ногами, Екатерина, казалось, ничего не соображала.

Говоря о мотивах, побуждающих обращаться к проблемам чистой математики, нельзя не упомянуть о давлении, оказываемом на математиков со стороны тех учреждений, где они работают, например университетов, — требовании публиковать результаты своих исследований. Поскольку для решения прикладных проблем необходимы обширные познания по крайней мере в одной из естественных наук и в математике, а нерешенные проблемы по трудности превосходят чисто математические, гораздо легче придумывать свои собственные задачи и решать то, что возможно решить. Профессора не только сами выбирают проблемы, поддающиеся решению, но и предлагают их своим ученикам в качестве тем для диссертаций. При этом профессора во многих случаях действительно могут помочь диссертантам преодолеть любые встречающиеся на их пути трудности.

— Дай воды, — навалившись на нее, бросил водитель. Второй парень кинулся к холодильнику и вытащил бутылку шампанского.

Назовем несколько направлений, в которых развивается современная чистая математика, — это позволит читателю лучше понять различие между чисто математическими и прикладными проблемами. Одно из таких направлений — абстракция. После того как Гамильтон ввел кватернионы, которые он намеревался применить к решению физических проблем, другие математики поняли возможность существования не одной, а многих алгебр и занялись поиском всех возможных алгебр, не задумываясь над тем, насколько они применимы к описанию реального мира. Это направление математической деятельности процветает и поныне; оно является одним из направлений абстрактной алгебры.

— Держи ее, — сказал водитель. Парень навалился на Екатерину.

Другое направление чистой математики — обобщение. Конические сечения (эллипс, парабола и гипербола) описываются алгебраическими уравнениями второй степени. В приложениях встречаются также кривые, описываемые уравнениями третьей степени. Обобщение позволяет перепрыгнуть сразу к кривым, описываемым алгебраическими уравнениями n-й степени, и подробно изучить их свойства, хотя такие кривые вряд ли могут помочь нам при описании явлений природы.

Водитель открыл шампанское и направил струю Екатерине в лицо.

Задергавшись сильнее, она начала отплевываться.

Обобщение и абстракция, предпринятые с единственной целью — написать очередную статью для «отчета», как правило, не представляют ценности с точки зрения приложений.{154} Подавляющее большинство работ такого рода посвящено переформулировке на более общем и более абстрактном языке с использованием новой терминологии того, что было известно и раньше, но излагалось на более простом и частном языке. Что же касается приложений математики, то здесь такая переформулировка не дает ни более мощного метода, ни более глубокого понимания. Распространение новомодной терминологии, как правило искусственной и не связанной с какими-либо физическими идеями, хотя и направленной якобы на модернизацию идей, заведомо не способствует более эффективному применению математики, а, наоборот, затрудняет его. Это новый язык, но не новая математика.

— Отпустите, — через некоторое время приказала Екатерина. Парни осторожно освободили ее. Она села и тряхнула волосами. — С ума сошли?! — сердито спросила она. Хотела сказать еще что-то, но, повернувшись, чтобы встать, увидела Риту. Замерла. Медленно поднялась. Парни тоже встали.

— Уезжать надо, — рискнул сказать водитель. — Там внизу еще двое.

Третье направление, избираемое чистой математикой, — специализация. Еще Евклид ставил и решал вопрос о том, существует ли бесконечно много простых чисел. Теперь «естественно» спросить, существует ли простое число среди любых семи последовательных целых чисел. Пифагорейцы ввели понятие дружественных чисел. Два числа называются дружественными, если сумма делителей одного числа равна другому числу. Например, 284 и 220 — дружественные числа. Один из лучших специалистов по теории чисел Леонард Диксон предложил задачу о дружественных тройках чисел. «Мы будем говорить, что три числа образуют дружественную тройку, если сумма собственных делителей каждого числа равна сумме двух других чисел», — писал Диксон и поставил задачу об отыскании таких троек. Другой пример подобного рода относится к так называемым степенным числам. Условимся называть натуральное число n степенным, если из того, что n делится на простое число p, следует, что оно делится и на p2 (другими словами, если в «каноническом» разложении n = р1α1∙р2α2∙…∙pkαk числа n на простые множители все показатели степени α1, α2, …, αk ≥ 2). Существуют ли положительные целые числа (отличные от 1 и 4), представимые бесконечно многими способами в виде разности двух взаимно-простых степенных чисел?

Сейчас домработница придет. Надо уходить.

Мы выбрали приведенные выше примеры специализации потому, что их нетрудно сформулировать и понять, хотя кажущаяся простота отнюдь не соответствует сложности и глубине таких проблем. Однако специализация распространилась настолько широко, а проблемы настолько сузились, что к большинству современных отраслей математики вполне применимо высказывание, некогда несправедливо адресованное теории относительности: во всем мире вряд ли найдется дюжина людей, понимающих эту теорию.

— Вниз, — не отрывая взгляда от окровавленной головы Риты, крикнула Екатерина. — Домработницу убейте. И любого, кто войдет. Я сейчас. — Медленно подняв окровавленные руки, посмотрела на них. Парни нерешительно шагнули к двери. — Я что сказала! — Боевики быстро вышли. Екатерина вздохнула и, подхватив простыню, пошла в ванную.

Распространение специализации приняло столь широкие масштабы, что группа выдающихся французских математиков, выступающих под коллективным псевдонимом Никола Бурбаки, группа, заведомо не занимающаяся прикладной математикой{155}, сочла необходимым выступить с критикой сложившегося положения:

— Ну что же, господа, — поднявшись из-за длинного стола, за которым сидели восемь мужчин разного возраста в строгих костюмах, сказал старик в золотых очках. — Я думаю, можно начинать то, ради чего мы собрались. Разговор был долгий и не всем приятный. — Он улыбнулся. — Не секрет, что, прежде чем собраться, мы долго враждовали. Пролитую кровь наших людей оплакивают их жены и матери. Мой первый тост за тех, кто своей гибелью доказал, что война необходима, но не между нами. — Все восемь встали и подняли бокалы. — Итак, — продолжал старик, — мы объединились. Но сделали это намного позже, чем следовало. Однако... — Вдруг покачнувшись, старик начал падать назад. Остальные застыли. И тут приглушенно хлопнул второй выстрел. Стоявший справа от старика мужчина с густыми черными усами, выронив бокал, упал на бок. Из пробитого пулей виска хлынула кровь. Пригибаясь и отталкивая друг друга, под грохот падающих стульев остальные бросились к дверям, которые тут же открылись, и трое парней с короткими автоматами начали почти в упор расстреливать толкавшихся людей. Через несколько минут крики затихли. Вытащив пистолеты, трое, неторопливо войдя в зал, стали делать контрольные выстрелы в головы лежавших в разных позах мужчин.


Многие из математиков устраиваются в каком-нибудь закоулке математической науки, откуда они и не стремятся выйти, и не только почти полностью игнорируют все то, что не касается предмета их исследований, но не в силах даже понять язык и терминологию своих собратьев, специальность которых далека от них. Нет такого математика, даже среди обладающих самой обширной эрудицией, который бы не чувствовал себя чужеземцем в некоторых областях огромного математического мира; что же касается тех, кто, подобно Пуанкаре или Гильберту, оставляет печать своего гения почти во всех его областях, то они составляют даже среди наиболее великих редчайшее исключение.
([68], с. 245; [11]*.)


— Те двое, — спросил молодую женщину стоявший у входа в подземный гараж Губа, — где?

За страсть к специализации математика платит бесплодием. Способствуя виртуозности, специализация редко приводит к значительным результатам.

— Готовы, — кивнул подошедший к ним смуглый парень.

Абстракция, обобщение и специализация — три направления деятельности, избираемых чистыми математиками. Четвертое направление — аксиоматизация. Развернувшееся в XIX в. движение за аксиоматизацию, несомненно, способствовало укреплению оснований математики, хотя последнее слово в решении проблем, связанных с основаниями математики, осталось не за аксиоматикой. Но вскоре многие математики принялись за тривиальную модификацию только что созданных аксиоматических систем. Одним удавалось показать, что некую аксиому можно сформулировать проще, если воспользоваться другой ее редакцией. Другие показывали, что если пожертвовать простотой формулировки, то три аксиомы можно свести всего лишь к двум аксиомам. Третьи вводили новые неопределяемые термины и, перекроив все аксиомы, приходили к тому же множеству теорем.

— Франко не нашли? — не глядя на него, спросил Губа. Парень покачал головой.

— Он скорее всего на самолете улетел, — проговорила женщина.

Не вся аксиоматизация, как мы уже говорили, была напрасной тратой сил. Но те небольшие модификации, которые удавалось внести в существующие аксиоматические системы, чаще всего не имели особого значения. В то время как решение проблем реального мира требует величайшего напряжения и полной отдачи сил, поскольку возникающие задачи обычно необходимо решить во что бы то ни стало, аксиоматика позволяет различного рода вольности. По существу аксиоматизация есть не что иное, как производимая человеком глубинная организация больших разделов науки; при этом, конечно, не имеет особого значения, какой именно системе аксиом из многих возможных будет отдано предпочтение и сколько аксиом (пять, пятнадцать, двадцать) содержит тот список аксиом, которого мы намерены придерживаться. Недаром поиск многочисленных вариантов систем аксиом, которому посвятили немало времени даже выдающиеся математики, получил название «игры с постулатами».

— Ну? — Губа взглянул на вышедших из дверей двухэтажного дома троих парней.

В первые десятилетия XX в. на аксиоматику тратилось столько времени и труда, что в 1935 г. Герман Вейль, полностью сознавая ценность аксиоматизации, посетовал на оскудение ее плодов и призвал математиков вновь заняться содержательными проблемами. По мнению Вейля, аксиоматика лишь придает содержательной математике точность и организует ее. Аксиоматика выполняет функцию каталогизации или классификации.

— Все, — усмехнулся один. — Теперь, как и обещал, расчет.

— Там, — кивнул Губа на открывшиеся ворота подземного гаража, — все получите.

Разумеется, далеко не все абстракции, обобщения, специальные проблемы и аксиоматику можно отнести к чистой математике. О ценности такого рода работ и об исследованиях по основаниям математики мы уже говорили. Чтобы ответить на вопрос, с какой математикой — чистой или прикладной — мы имеем дело, необходимо выяснить мотивы исследования. Для чистой математики характерен полный отрыв от каких бы то ни было приложений, непосредственных или потенциальных. Дух чистой математики наиболее полно проявляется в ее непредвзятом отношении к проблемам: любая проблема есть проблема. Некоторые чистые математики ссылаются на то, что любое математическое исследование потенциально полезно, поскольку в будущем вполне может найти применение, которое трудно предвидеть заранее. Тема математического исследования — своего рода участок местности в районе, богатом залежами нефти. Темные лужи на поверхности земли свидетельствуют о целесообразности поискового бурения. Если из скважины пойдет нефть, то участок повышается в цене. После того как нефть на участке обнаружена, бурятся новые скважины в надежде, что и они дадут нефть, если места для бурения выбраны не слишком далеко от первой скважины. Разумеется, можно было бы заложить новую скважину и вдали от первой — там, где бурить легче, — и все же надеяться, что и из нее забьет фонтан нефти. Но силы и изобретательность человека не беспредельны, поэтому математикам приходится соразмерять затрачиваемые усилия со степенью риска. Как заметил один из создателей термодинамики и статистической физики Джозайя Уиллард Гиббс, чистый математик может делать все что ему вздумается, но математик-прикладник должен, по крайней мере отчасти, внимать здравому смыслу.

Парни неторопливо начали спускаться в гараж. Смуглый, увидев взгляд Губы, задумался на мгновение, но тоже пошел вслед за ними. Трое вошли в гараж и увидели джип. Правая передняя дверца была распахнута. Озираясь, они подошли.

Один заглянул в кабину и увидел лежавший на сиденье небольшой чемодан. Открыв крышку, обернулся и весело сказал:

Критику чистой математики — математики ради математики — можно найти в сочинении Фрэнсиса Бэкона «О достоинстве и приумножении наук» (1620). Бэкон возражал против чистой, мистической и самодовольной математики, «полностью абстрагированной от материи и от физических аксиом» ([23], т. 1, с. 237), сетуя на то, что «таково уж свойство человеческого ума: не имея достаточно сил для решения важных проблем, он тратит себя на всякие пустяки» ([23], т. 1, с. 238). Значение прикладной математики Бэкон понимал следующим образом:

— Все здесь. Губа — толковый мужик. — Вытащив чемодан, поставил его на стоявший у стены верстак. Парни начали брать связанные тонкими резинками пачки долларов. К ним подошел смуглый.


В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надежно использовано на практике без помощи и вмешательства математики. Это можно сказать о перспективе, музыке, астрономии, космографии, архитектуре, сооружении машин и некоторых других областях знания… По мере того как физика день ото дня будет приумножать свои достижения и выводить новые аксиомы, она будет во многих вопросах нуждаться все в большей помощи математики, и это приведет к созданию еще большего числа областей смешанной математики.
([23], т. 1, с. 238.)


— Ну-ка, — неторопливо оттолкнул он одного. Взял одну купюру и посмотрел через нее на свет большой лампы.

Во времена Бэкона математикам не нужно было напоминать о необходимости заниматься решением физических проблем. В наши дни математика отделилась от естествознания. За последние сто лет произошел раскол между теми, кто сохранил верность древним возвышенным мотивам математической деятельности, до сих пор питавшим математику глубокими и плодотворными темами исследований, и теми, кто плывет по воле ветра, изучая все, что подсказывает ему необузданное воображение. Ныне математика и естественные науки идут разными путями. Новые математические понятия вводятся без всякой попытки найти им приложения. Более того, математики и представители естественных наук перестали понимать друг друга, и нас вряд ли может утешить то, что вследствие чрезмерной специализации даже сами математики уже не понимают друг друга.

Отход от «реальности», занятия математикой ради самой математики с самого начала вызывали бурные споры. В своем классическом труде «Аналитическая теория тепла» (1822) Фурье с энтузиазмом повествует о математическом подходе к решению физических проблем:

— Так это фальшивые...


Глубокое изучение природы — наиболее плодотворный источник математических открытий. Такое изучение не только обладает преимуществами хорошо намеченной цели, но и исключает возможность неясной постановки задач и бесполезных выкладок. Оно является надежным средством построения самого анализа и позволяет открывать наиболее значительные идеи, которым суждено навсегда сохраниться в науке. Фундаментальны те идеи, которые отражают явления природы…
Главная отличительная особенность [математического подхода] — его ясность; в нем нет символов, которые выражали бы смутные идеи. Он сводит вместе самые различные явления и обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии. Даже если материя ускользает от нас, подобно воздуху и свету, по причине своей крайней тонкости, даже если мы хотим понять, как выглядят небеса на протяжении последовательных периодов, разделяемых многими столетиями, даже если сила тяжести и тепло действуют внутри земного шара на глубинах, которые навсегда останутся недоступными, математический анализ позволяет постичь законы всех этих явлений, Он делает их как бы видимыми и измеримыми и, должно быть, является способностью человеческого разума, призванной возместить кратковременность жизни и несовершенство наших чувств. Но еще более замечательно, что при изучении всех явлений математический анализ следует одному и тому же методу: он переводит все эти явления на один и тот же язык, как бы подчеркивая единство и простоту структуры окружающего нас мира и делая еще более заметным незыблемый порядок, правящий в природе всей материей.{156}


С двух сторон длинными очередями ударили автоматы. Трое парней и смуглый, расстрелянные в упор, упали на бетонный пол. Стоявшая рядом с Губой женщина, услышав выстрелы, отскочила в сторону. Не вытаскивая правой руки из кармана, Губа повернулся в ее сторону. Глухо прозвучал выстрел. Пуля попала женщине в горло. Из ворот гаража вышли Зубастик и Штык с автоматами.

Карлу Густаву Якобу Якоби принадлежат первоклассные результаты в области механики и астрономии. Тем не менее он счел необходимым выступить против высказанного Фурье мнения с критическими замечаниями, которые, однако, в лучшем случае можно назвать односторонними. В письме Адриену Мари Лежандру от 2 июля 1834 г. Якоби писал:

— Всех в яму, — рассматривая маленькую дырку в кармане куртки, буркнул Губа. — Откройте газ и... — Не договорив, зло выматерился.


Фурье усматривает главное назначение математики в общественной пользе и объяснении явлений природы, но такому ученому, как он, следовало бы знать, что единственная цель науки состоит в прославлении человеческого разума, поэтому любая задача теории чисел заслуживает ничуть не меньшего внимания, чем любой вопрос о нашей планетной системе.


Схватив женщину за ноги, Штык поволок ее к воротам гаража.

Разумеется, специалисты по математической физике не разделяли взглядов Якоби. Лорд Кельвин (Уильям Томсон, 1824-1907) и Питер Гутри Тэйт (1831-1901) провозгласили в 1867 г., что лучшая математика — та, которую подсказывают приложения. Именно приложения приводят к «наиболее удивительным теоремам чистой математики, редко выпадающим на долю тех математиков, которые ограничивают себя рамками чистого анализа и геометрии, вместо того чтобы обращаться к богатой и прекрасной области математической истины, лежащей в русле физических исследований».

— Следы! — недовольно бросил Губа. Подскочивший Зубастик, повесив на правое плечо ремень «АКМ», подхватил женщину под мышки.

— Тяжелая, стерва, — бросил он. Губа, посмотрев на часы, неторопливо пошел к стоявшей у ворот машине.

Многие математики также с осуждением относились к тяге своих коллег к чистой математике. Так, в 1888 г. Кронекер писал Гельмгольцу, внесшему значительный вклад в развитие математики, физики и медицины: «Ваш богатый практический опыт работы с разумными и интересными проблемами укажет математикам новое направление и придаст им новый импульс… Односторонние и интроспективные математические умозаключения приводят к областям, от которых нельзя ожидать сколько-нибудь ценных плодов».

— Что с тобой? — взглянул на бледную Екатерину Комод. Она, не отвечая, прошла в комнату. Увидев у нее на щеке три глубокие царапины, Комод усмехнулся.

В 1895 г. Феликс Клейн, бывший в то время признанным главой математического мира, также счел необходимым выразить протест против тяги к абстрактной, чистой математике:

— Снова с Мад-лен сцепилась? — тихо обратился он к стоявшим возле дверей двум парням Екатерины.


Трудно отделаться от ощущения, что быстрое развитие современной мысли таит для нашей науки опасность все более усиливающейся изоляции. Тесная взаимосвязь между математикой и теоретическим естествознанием, существовавшая к вящей выгоде для обеих сторон, с возникновением современного анализа грозит прерваться.


— Она ее того, — чиркнул указательным пальцем себя по горлу водитель. — Мы дом подпалили. Едва отъехали — газ рванул.

К этой же теме Клейн возвращается в «Математической теории волчка» (1897):

— Вот это да, — буркнул удивленный Комод. Зайдя в комнату, посмотрел на Екатерину.


В математической науке назрела насущная необходимость восстановить тесную взаимосвязь между чистой наукой и теми разделами естественных наук, где математика находит наиболее важные приложения, ту взаимосвязь, которая столь плодотворно проявила себя в трудах Лагранжа и Гаусса.


— Чего уставился? — злобно спросила она.

— Да так. — Он покачал головой. — Значит, разобралась с Риткой. Теперь Руслан твой. Или его тоже надо?.. — Он многозначительно замолчал.

Пуанкаре в «Науке и методе», несмотря на язвительные замечания по поводу некоторых чисто логических построений математиков конца XIX в. (гл. VIII), признает полезность математических исследований о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со странным ходом. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а следовательно, и от природы и прикладных вопросов, тем яснее они «показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем лучше мы познаем ум в его внутренней сущности». Но все же «главные силы нашей армии приходится направлять в сторону противоположную, в сторону изучения природы» ([1], с. 302). В «Ценности науки» Пуанкаре писал:

— Да, — кивнула она. — И делать это надо сейчас. Он вернется примерно через час. Увидит, что его хоромы сгорели, и...


Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски и формы, но у которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы.
([1], с. 223.)


— Он не вернется, — покачал головой Комод. Екатерина вопросительно уставилась на него.

Несколько позже, в 1908 г., ту же тему подхватил Феликс Клейн. Его беспокоило, как бы математики не стали злоупотреблять чрезмерной свободой в создании произвольных математических структур. Произвольные структуры, предостерегал Клейн, — «смерть всякой науки». Аксиомы геометрии «не произвольные, а вполне разумные утверждения, как правило опирающиеся на наше восприятие пространства. Точное содержание геометрических аксиом определяется их целесообразностью». Занимаясь обоснованием аксиом неевклидовой геометрии, Клейн подчеркивал, что аксиома Евклида о параллельных, как того требуют наглядные представления, выполняется лишь с точностью, не превышающей определенные пределы. По другому случаю Клейн заметил, что «тот, кто пользуется привилегией свободы, должен нести и бремя ответственности». Под ответственностью Клейн понимал служение интересам познания природы.

— Тебе нужно уезжать, — сказал он.

— Почему?

К концу жизни Клейн, возглавлявший математический факультет Гёттингенского университета и созданный при нем институт математики — в то время признанный центр математического мира, — счел необходимым еще раз выразить свой протест против чрезмерного увлечения чистой математикой. В книге «Лекции о развитии математики в XIX в.» (1925) он напомнил об интересе, который Фурье питал к решению практических задач самыми лучшими из существовавших в начале XIX в. математических методов, и противопоставил прикладную направленность интересов основателей математической физики чисто математической утонченности методов и абстрактности идей математики XX в. Далее в «Лекциях» говорится следующее:

— Так нужно. И еще. Сегодня же поезжай в больницу и забери Кешку. Арсен уже договорился с одной частной больницей. Кешка будет...


Если мне позволено будет пояснить свою мысль примером, я сказал бы, что математика в наши дни напоминает крупное оружейное производство в мирное время. Витрина заполнена образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз выполнением восхищают знатока. Собственно происхождение и назначение этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании людей на задний план и даже совершенно забываются.
([98], с. 104.)


— Подожди, ты говоришь загадками. Почему я должна уезжать?..

Рихард Курант, сменивший Клейна на посту главы Гёттингенского математического института, а позднее возглавивший Курантовский институт математических наук при Нью-Йоркском университете, также неодобрительно относился к увлечению чистой математикой. Так, предисловие к первому изданию «Методов математической физики» Куранта и Гильберта (1924) Курант начал следующими словами:

— Ты сделала все, — усмехнулся Комод, — что хотела. И больше тебе здесь делать нечего. Да, менты разыскивают какую-то женщину. Рядом с озерком, где сделали Таракана с Розовой, стоял «КамАЗ». Водитель и бабенка, что была с ним, все слышали. Поэтому...


Испокон века математика черпала мощные импульсы из тесных взаимоотношений, существующих между проблемами и методами анализа и наглядными представлениями физики. Лишь последние десятилетия принесли с собой ослабление этой связи, математическое исследование стало часто отрываться от своих наглядных истоков и (особенно в анализе) занялось слишком исключительно уточнением своих методов и уточнением своих понятий. Это привело к тому, что у многих представителей анализа исчезло сознание взаимной связи их науки с физикой и другими дисциплинами, а физики, с другой стороны, часто утрачивали понимание проблем и методов математики и даже ее языка и всей сферы ее интересов. Без сомнения, в этой тенденции таится угроза для науки вообще: потоку научного развития грозит опасность все большего разветвления, оскудения и высыхания. Чтобы избежать этой участи, необходимо значительную часть наших усилий направить к тому, чтобы вновь соединить разделенное, выясняя внутренние связи разнородных фактов и объединяющих точек зрения. Только таким путем изучающему открывается возможность действительного овладения предметом, а исследователю подготовляется почва для органического дальнейшего развития.
([104], с. X.)


— Постой, как ты об этом узнал?

В 1939 г. Курант писал:

— У Арсена есть мусор, который за определенную мзду держит его в курсе того, что интересует Арсена. Так что, — ухмыльнулся он, — для вас с Кешкой будет лучше, если он вспомнит номер «КамАЗа», за которым гнался.


Серьезная угроза самой жизни науки проистекает из утверждения о том, будто математика представляет собой не что иное, как систему заключений, выводимых из определений и постулатов, которые должны быть непротиворечивыми, а в остальном произвольными порождениями свободной воли математиков. Если бы подобное описание соответствовало действительности, то в глазах любого сколько-нибудь разумного человека математика не обладала бы никакой привлекательностью. Она была бы ничем не мотивированной бесцельной игрой с определениями, правилами и силлогизмами. Представление о том, будто разум по своему произволу может создавать осмысленные аксиоматические системы, — полуправда, способная лишь вводить неискушенных людей в заблуждение. Только сдерживаемый дисциплиной ответственности перед органическим целым свободный разум, руководствуясь внутренней необходимостью, может создавать результаты, имеющие научную ценность.


— Кто тебе об этом сказал?

Аналогичное мнение выразил в 1943 г. на страницах журнала American Scientist ведущий американский математик того времени Джордж Дэвид Биркгоф (1884-1944);

— Надо быть валенком, чтобы не понять этого. Счастье Кешки, что менты не свяжут его аварию и труп на озере воедино, Танька молчит и будет молчать, потому что боится Арсена. Если и начнет рассказывать, то только ему. Впрочем, об этом говорят все, кто знает о твоем отношении к Таньке. Так что...


Я надеюсь, что в будущем все больше физиков-теоретиков будут обретать глубокие познания математических принципов, а математики не станут ограничиваться чисто эстетическим развитием математических абстракций.


— Арсен убьет меня, — невольно вырвалось у Екатерины.

Ситуацию, сложившуюся к 1944 г., Джон Л. Синдж, признанный специалист по математической физике, описал (в духе Бернарда Шоу) в пространном предисловии к одной весьма специальной статье, доступной пониманию лишь профессиональных математиков:

— Не думаю. Втык, конечно, сделает. А насчет убийства... Зачем ему это?

Ты сделала то, что могла сделать любая баба на твоем месте. Только Кешка сплоховал.

— Значит, Арсентий все знает.

— Может, и не все, но...


Большинство математиков имеют дело с идеями, которые, по всеобщему мнению, принято относить к математике. Математики образуют замкнутую гильдию. Всякий вступающий в нее дает обет оставить все мирское и обычно сдерживает свою клятву. Лишь немногие математики странствуют «на чужбине» в поисках математического пропитания в проблемах, заимствованных непосредственно из других областей науки. В 1744 или в 1844 г. такими странниками было подавляющее большинство математиков. В 1944 г. они составляют столь небольшую часть математиков, что большинству необходимо напоминать о существовании меньшинства и объяснять точку зрения тех, кто его составляет.
Представители меньшинства не желают, чтобы их называли «физиками» или «инженерами», ибо они следуют математической традиции, существующей более двадцати веков и связанной с именами Евклида, Архимеда, Ньютона, Лагранжа, Гамильтона, Гаусса, Пуанкаре. Меньшинство отнюдь не желает умалять работу большинства, но опасается, что если математика будет питаться только собственными соками, то со временем движущие ею стимулы исчерпают себя.
Помимо влияния на будущее собственно математики изоляция математиков лишила остальные науки поддержки, на которую в прежние времена они неизменно рассчитывали… Изучение природы породило (и, по-видимому, продолжает порождать) несравненно более трудные проблемы, чем те, которые математики придумали, находясь в кругу своих собственных идей. Ученые, занимавшиеся изучением естественных наук, полагались на математиков в надежде, что те обратят свою энергию на решение этих трудных проблем. Ученым-естественникам известно, что математики искусно используют готовые средства, но этим их не удивишь — ученые и сами владеют готовыми, средствами едва ли не с меньшим искусством. В математиках их привлекают некие особые черты — присущие математикам логическая изощренность и умение видеть общее в частном и частное в общем…
При все том математики выступают в роли направляющей и дисциплинирующей силы. Именно математики дали естествознанию методы вычислений: логарифмы, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и т.д. Но этим вклад математиков в естествознание далеко не исчерпывается. Математики наделили естествознание общим планом, неотступно следили за логичностью естественнонаучного мышления. По мере возникновения каждой новой науки математики подводили (или по крайней мере пытались подводить) под нее надежное логическое основание — подобное тому, что Евклид подвел под египетское землемерие. В руки математиков попадал необработанный камень с множеством посторонних вкраплений. Из рук математиков выходил великолепно ограненный и отполированный бриллиант.
Здание современной науки гудит от кипучей деятельности, какой наука не знала в прежние времена. Нет никаких видимых признаков упадка. И только самые наблюдательные смогли заметить, что часовой покинул свой пост. Он не отправился на покой — работает, как всегда, не покладая рук, но работает только для себя…
Итак, окончен бал. Сколько радости было, пока он длился!.. Природа по-прежнему продолжает подкидывать глубокие проблемы, но они уже не доходят до математиков. В ожидании противника они сидят в своей башне из слоновой кости, вооруженные до зубов, но противник так и не появляется. Природа не ставит перед математиками четко сформулированных проблем. Добыть ясно поставленную задачу можно, лишь вооружившись киркой и лопатой, и тот, кто боится испачкать руки, никогда ни одной сколько-нибудь стоящей задачи не найдет.
Изменения и смерть в мире идей столь же неизбежны, как и в делах человеческих, и любящему истину математику не пристало делать вид, будто их нет, когда в действительности они имеют место. Невозможно искусственно стимулировать глубокие источники интеллектуальной деятельности. Что-то либо захватывает наше воображение, либо не затрагивает его, и в последнем случае никакими усилиями не удастся раздуть пламя. Если математики действительно утратили издавна присущую им особенность и видят перст божий не в движении звезд, а в доведении до пределов мыслимого совершенства и без того точной логики, то все попытки вернуть их в старое убежище обречены на провал, не говоря уже о том, что такие попытки означали бы по существу отрицание права человека на свободу разума. Но каждый начинающий математик, формулирующий свою собственную философию (а этот этап наступает в жизни каждого математика), должен принимать решение, располагая всей полнотой фактов. Он должен понимать, что, следуя тенденциям современной математики, становится наследником великой традиции, но наследует не все ее состояние. Часть наследства перешло в другие руки и навсегда потеряна для него…
Наша наука началась с математики и, несомненно, недолго протянет после того, как из нее изымут математику (если такое изъятие вообще возможно). В нашем столетии множится число лабораторий для массового производства фактов. Останутся ли добываемые факты просто фактами или обратятся в науку, зависит от того, в какой степени они войдут в соприкосновение с духом математики.


— Петро, — заглянул в комнату рослый парень с вислыми усами, — Фанфан приехал, тебя спрашивает.

Джон фон Нейман был обеспокоен судьбами математики настолько, что счел нужным предостеречь своих коллег. Свою позицию он изложил в очерке «Математик» (1947), часто цитируемом, но все же не привлекшем должного внимания:

— Руслан? — поразился Комод.


На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и в третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями; она все более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отделении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» математической дисциплине грозит опасность вырождения. При зарождении новой математической дисциплины ей обычно свойствен классический стиль. Когда же она начинает обретать черты барокко, то это сигнал опасности…
Во всяком случае, когда достигается стадия барокко, единственное спасительное средство я вижу в том, чтобы снова вернуться к источнику, произвести омолаживающую инъекцию идей более или менее прямого эмпирического происхождения. Я убежден, что такая эмпирическая «подпитка» была необходимым условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в прошлом и что аналогичное утверждение остается в силе и в будущем.
([105], с. 95.)


— Ну да, — кивнул парень. — Дерганый какой-то.

Однако тенденция к превращению математики в своего рода искусство для искусства не была приостановлена. Математики продолжали все дальше отходить от естествознания и следовать своим собственным курсом. Чистые математики имеют обыкновение посматривать сверху вниз, как на презренных ремесленников, на тех, кто занимается прикладной математикой, видимо, стараясь заглушить таким образом муки совести. Трубный глас техники, жалуются они, заглушает сладкие звуки чистой математики. В то же время чистые математики чувствуют, что необходимо дать ответ на критику, подобную той, которую мы воспроизвели выше. Однако, давая такой ответ, они — возможно, по незнанию, а может быть, и умышленно искажая историю — утверждают, что многие из величайших достижений прошлого обязаны своим появлением чисто математическим интересам и тем не менее впоследствии нашли себе применение. Но присмотримся внимательнее к тем примерам, которые чистые математики заимствуют из истории. Так ли чиста та математика, которую они называют чистой?

— Зови, — кивнул Петр. Екатерина отступила назад.

— Он за мной приехал, — негромко сказала она.

Чаще всего в качестве подходящего примера чистые математики ссылаются на греческие работы о конических сечениях: параболе, эллипсе и гиперболе. По мнению чистых — математиков, эти кривые были исследованы греками, в первую очередь Аполлонием, ради удовлетворения чисто математического интереса. Тем не менее восемнадцать столетий спустя Кеплер доказал, что именно по коническим сечениям движутся вокруг Солнца планеты. Однако хотя ранняя история конических сечений доподлинно и неизвестна, но все же по свидетельству такого авторитетного историка, как Отто Нейгебауэр (р. 1899), параболы, эллипсы и гиперболы впервые возникли в работах, посвященных конструкции солнечных часов. Известно, что древние действительно использовали в солнечных часах эти кривые. Задолго до того, как Аполлоний посвятил коническим сечениям свой классический труд (гл. I), было известно, что параболы позволяют фокусировать падающий на них солнечный свет. Следовательно, физические приложения конических сечений в оптике — области науки, которой греки уделяли немало внимания, — несомненно, послужили толчком к некоторым из исследований по геометрии конических сечений.

— Странно, что он еще может ездить, — удивленно пробормотал Комод.

Коническими сечениями греки занимались задолго до Аполлония в связи с решением знаменитой задачи об удвоении куба — построении ребра куба вдвое большего объема, чем данный куб. Для греческой геометрии, в которой единственный способ доказать существование того или иного объекта сводился к его построению, такого рода задачи имели первостепенное значение.

— Привет, — в дверь стремительно вошел Руслан. Его полное лицо было бледным и напряженным. — Ты знаешь, что случилось? — спросил он.

Комод молча покачал головой.

Разумеется, Аполлоний доказал сотни теорем о конических сечениях, не имеющих не только непосредственных приложений, но даже потенциально неприменимых. В этом отношении он мало чем отличался от современных математиков, которые, напав на благодатную тему, начинают разрабатывать ее либо по причинам, о которых говорилось выше, — из желания побольше узнать о чем-то важном либо из стремления ответить, так сказать, на интеллектуальный вызов.

— Под Плехановым собирались мужики, — облизнув пересохшие губы, начал Руслан, — что-то вроде блатных. Так их...

Второй, наиболее часто приводимый пример чистой математики, впоследствии нашедшей, однако, немаловажные приложения, — неевклидова геометрия. По словам тех, кто ссылается на этот пример, получается, будто математики создали неевклидову геометрию, размышляя на досуге над тем, что произойдет, если изменить евклидову аксиому о параллельных. Но утверждать подобное — значит игнорировать более чем двухтысячелетнюю историю науки. Аксиомы Евклида считались самоочевидными истинами о реальном физическом пространстве (гл. I). Аксиома о параллельных, весьма произвольно и своеобразно сформулированная Евклидом, стремившимся избежать исходного предположения о существовании параллельной, по сравнению с остальными аксиомами была куда как менее очевидной. Многие усилия, затраченные на поиск более приемлемого варианта аксиомы, привели в конце концов к открытию: аксиома о параллельных не обязательно должна быть истинной — другая аксиома о параллельных, отличающаяся от евклидовой (и, следовательно, неевклидова геометрия), может так же хорошо описывать физическое пространство. Итак, подчеркнем главное: попытки доказать истинность аксиомы Евклида о параллельных предпринимались не для «услаждения мозгов, поднаторевших в умозрительных рассуждениях», а для того, чтобы удостовериться в истинности геометрии, лежащей в основе тысяч и тысяч теорем чистой и прикладной математики.

— Ты откуда знаешь?

— Меня тоже приглашали, — торопливо проговорил Руслан, — хотели что-то вроде организации создать. Я опоздал. А приехал — там все горит. В общем, говорят, что постреляли там всех. Я — назад, а мой коттедж тоже пылает. Я вот зачем приехал. У меня два последних дня Катька жила. Она с Мадлен поцапалась — ну и ко мне. Не мог же я...

Чистые математики нередко ссылаются также на работы Римана, который обобщил известную в его время неевклидову геометрию и указал на существование целого семейства неевклидовых геометрий, получивших впоследствии название римановых геометрий (или геометрий римановых пространств). И в этом случае чистые математики полагают, будто Риман создал свои геометрии лишь с той целью, чтобы «посмотреть, что можно сделать». Думающие так глубоко заблуждаются. Как мы уже говорили, усилия математиков, направленные на устранение малейших сомнений в адекватности евклидовой геометрии окружающему нас миру, увенчались созданием неевклидовой геометрии, оказавшейся столь же пригодной для описания свойств физического пространства, как и евклидова геометрия. Существование двух различных геометрий заставило математиков задуматься над вопросом о том, что, собственно, нам достоверно известно о физическом пространстве? Этот вопрос послужил для Римана отправным пунктом для размышлений. Отвечая на него, Риман в своей лекции [106] 1854 г., которая была опубликована лишь после его смерти, развил общую теорию, включающую классическую геометрию Евклида и неевклидову геометрию Лобачевского — Бойаи в качестве частных случаев. Вследствие ограниченности наших физических знаний римановы геометрии могли оказаться столь же полезными для описания физического пространства, как и евклидова геометрия. Риман предвидел, что пространство и материю нужно рассматривать в неразрывной связи.{157} Следует ли удивляться после этого, что Эйнштейн счел риманову геометрию полезной? Предвидение Римана относительно физичности предложенной им геометрии отнюдь не умаляет остроумного применения, которое нашел римановой геометрии Эйнштейн. Применимость римановой геометрии явилась следствием работы над решением наиболее фундаментальной из физических проблем, которыми когда-либо занимались математики, — выяснением природы физического пространства.

— И что? — усмехнулся Комод.

Нельзя не упомянуть еще об одном примере. Одно из интенсивно развивающихся направлений современной математики — теория групп. По мнению чистых математиков, теория групп также была создана «из любви к искусству». Понятие группы ввел в математику Эварист Галуа (1811-1832), хотя неявно оно встречалось в работах Лагранжа, норвежца Абеля и итальянца Паоло Руффини (1765-1822). Внимание Галуа привлекла по существу самая простая и практически важная задача всей математики — разрешимость простых алгебраических уравнений, таких, как квадратное уравнение

— Так те, — сказал Руслан, — кто положил всех, решили, что я в коттедже. Вот и взорвали его. А там...


3x2 + 5x + 7 = 0,


— Чего же ты баб разбираться одних оставил? — злобно спросила Екатерина. Руслан опешил. Отступил на шаг, испуганно взглянул на Комода.

кубическое уравнение

— Я это... — пробормотал он, — думал...


4x3 + 6x2 − 5x + 9 = 0


Комод ударил его ногой в живот. Издав приглушенный крик, Руслан упал на колени. Комод резко ударил его каблуком в висок. Тот рухнул и, вздрогнув всем телом, замер. Достав из спортивной сумки пистолет с глушителем Петр приставил ствол к уху Руслана и нажал на спусковой крючок. Взглянув на Екатерину, усмехнулся:

и уравнения более высоких степеней. Уравнения такого типа встречаются в тысячах физических задач. К тому времени, когда эта задача привлекла внимание Галуа, математики научились решать в радикалах общие алгебраические уравнения от первой до четвертой степени (т.е. выражать корни таких уравнений через их коэффициенты с помощью конечного числа алгебраических операций), а Нильс Хенрик Абель (1802-1829) доказал неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени

— Не скажу я Арсену, что ты с ним была. Но, разумеется, не за так.


ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0,


Сейчас поезжай в больницу, пусть дают сопровождающего врача, — и вези братика в Москву. Сама слышала, — снова взглянул он на мертвого Фанфарина, — сделали здесь кое-кого. Арсен их положил. Здесь какие-то самозванцы объявились, якобы воры в законе. Горбуна, говорят, они приговорили. Его на свалке нашли. — Екатерина облегченно вздохнула. — В общем, Арсен решил покончить с этой сволотой. Тульские блатные и сами бы их сделали, но Арсен решил не тянуть время. Правда, Губа наверняка положит парнишек, которых ему тульские для поддержки штанов дали. Он им пообещал бабки хорошие. За похороны, может, и заплатит. — Комод засмеялся.

где a, b, c, d, e и f — любые вещественные (или комплексные) числа, а также и уравнений более высоких степеней. Галуа задался целью выяснить, почему общие уравнения пятой и выше степени неразрешимы в радикалах и почему частные уравнения сколь угодно высокой степени могут оказаться разрешимыми. Решая эту задачу, Галуа создал теорию групп. Нужно ли удивляться, что понятие, возникшее из решения столь фундаментальной проблемы, как решение алгебраических уравнений, оказалось применимым ко многим другим математическим и физическим задачам? Можно с уверенностью сказать, что теория групп не была «придумана», а родилась на прочной и вполне реальной физико-математической основе.

— Думаешь, нам с Кешкой сейчас опасно в Туле? — немного помолчав, спросила Екатерина.

Кроме того, теория групп была вызвана к жизни не только работами Галуа. Возможно, от внимания чистых математиков ускользнула работа французского кристаллографа Огюста Браве (1811-1863) по структуре кристаллов типа кварца, алмаза и горного хрусталя. Эти вещества состоят из различных атомов, расположенных по определенной схеме, многократно повторяющейся в объеме кристалла. Атомы в кристаллах таких веществ, как поваренная соль и обычные минералы, расположены особым образом. В простейшем случае (поваренной соли) можно считать, что соседние атомы расположены в вершинах куба. С 1848 г. Браве занялся изучением преобразований (поворотов кристалла вокруг какой-либо оси), трансляций (параллельных переносов, или сдвигов) или отражений, переводящих кристалл в себя. Такие преобразования образуют различные группы. Камил Жордан (1833-1922), обративший внимание на работу Браве, дополнил и обобщил ее в своей работе 1868 г. и в своем труде «Трактат о подстановках» (Traité des substitutiones, 1870), сыгравшем существенную роль в распространении понятия группы в среде математиков, использовал заимствованные из кристаллографии соображения наряду с другими аргументами, подтверждающими важность изучения теории групп.

— Тут и думать нечего, — отрезал Комод.

— За лжеворов еще ничего. А вот за тех, кого Губа положит, обязательно канитель начнется. А что ты в Туле и твой брат здесь в больнице, знают все. Так что с вас и начать могут. В таких делах западло не бывает.

Работа Браве навела Жордана на мысль об изучении бесконечных групп — групп вращений и параллельных переносов. Бесконечные (непрерывные) группы обрели известность после знаменитой лекции [107] Феликса Клейна, прочитанной в Эрлангенском университете в 1872 г. и тогда же опубликованной, где он предложил различать все известные в то время геометрии по допускаемым ими группами «движений» и по инвариантам этих «движений». Так, евклидова геометрия занимается изучением тех свойств фигур, которые остаются инвариантными при поворотах, параллельных переносах и преобразованиях подобия (см., например, [108]). Занимавшую в 1872 г. умы математиков проблему, чем отличаются известные и столь непохожие друг на друга геометрии и какая из них соответствует физическому пространству, вряд ли можно отнести к чистой математике. Немало работ по применению дискретных и непрерывных групп к классификации методов решений дифференциальных уравнений{158} вошло в математику, прежде чем в 90-х годах XIX в. было сформулировано современное понятие группы.{159}

— Значит, и Розову могут? — подумав, взглянула на него она. — Ведь Танька — любовница Арсентия. Об этом, наверное, тоже...

— Может, да, — неуверенно проговорил Комод. — Может, и нет. С ума сойти, — взглянул он на тело Руслана. — Фанфан в блатные полез и опоздал к раздаче титулов. Хорошо еще, сюда приперся. Но откуда узнал, что я здесь?

К аналогичному выводу приводит изучение и всех других понятий и теорий, якобы являющихся продуктом чистой математики: матриц тензорного исчисления, топологии. Например, вся современная алгебра обязана своим происхождением кватернионам Гамильтона (гл. IV). Мотивы создания абстрактной алгебры прямо или косвенно были связаны с физическими соображениями, и ее творцы неусыпно заботились о приложениях, которые могут иметь вводимые ими понятия. Следовательно, история неоспоримо свидетельствует, что любая математическая дисциплина, намеренно создаваемая как область чистой математики и лишь впоследствии нашедшая различные применения, как правило, возникала при исследовании реальных физических проблем или проблем, имеющих непосредственное отношение к изучению природы. Часто случается, что «хорошая математика», создание которой первоначально было стимулирование потребностями физики, находит новые приложения, которых не предвидели творцы теории. Так математика возвращает свой долг естествознанию. Новых, непредвиденных приложений следует ожидать заранее. Не удивляемся же мы, что молотком, который был изобретен для того, чтобы крушить горные породы, можно также и забивать гвозди. Неожиданные естественнонаучные приложения математики возникают по той простой причине, что математические теории с самого начала имеют физическую подоплеку а отнюдь не обязаны своим происхождением пророческому прозрению всеведущих математиков, сражающихся разве лишь с собственным духом. Неизменный успех абстрактных математических теорий отнюдь не случаен.

— Это я сказала, — призналась Екатерина. — Если со мной что-то произойдет, скажешь Комоду. И адрес дала.

Рассказывают, что один из выдающихся английских математиков — Годфри Гарольд Харди (1877-1947) — однажды провозгласил тост: «За чистую математику! Да не найдет она никаких приложений!».{160} Леонард Юджин Диксон (1874-1954), пользовавшийся непререкаемым авторитетом в Чикагском университете, говаривал: «Слава богу, теория чисел не запятнана никакими приложениями».

— Ладно, — недовольно бросил он, — что ни делается, все к лучшему.

В статье о математике, написанной во время второй мировой войны (1940), Харди утверждал:

Езжай в больницу, забирай Кешку. Тебе надо до вечера убраться. Завтра здесь такое начнется... — усмехнулся он. — Теперь гостей из Тулы в Москве ждать надо.


Считаю своим долгом заявить с самого начала, что под математикой я понимаю настоящую математику, математику Ферма и Эйлера, Гаусса и Абеля, а не то, что выдают за математику в инженерной лаборатории. Я имею в виду не только «чистую» математику (хотя именно она интересует меня в первую очередь) — Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона и Дирака я также причисляю к «чистым» математикам.


— Так при чем здесь Арсен, — спросила Екатерина, — если тульских парней, ты сам сказал, Губа убьет?

Прочитав эти строки, повторенные в книге Xарди «Апология математика», можно было бы подумать, что он, по крайней мере частично, приемлет прикладную математику. Но далее у Харди говорится следующее:

— Губу прислал Арсен. Тот сначала ехать не хотел, но узнал, что кто-то еще из московских едет, — согласился. А он свидетелей оставлять не любит. Даже таких, кто с ним работает.

— Вот это бойня, — покачал головой майор милиции.


В понятие чистой математики я включаю всю совокупность математических знаний, обладающих непреходящей эстетической ценностью, какой обладает, например, греческая математика, которая вечна потому, что лучшая ее часть, подобно лучшим произведениям литературы, и через тысячи лет продолжает приносить тысячам людей эмоциональное удовлетворение.


— Да, — согласился невысокий мужчина в Штатском. — И собрали ведь всех самозванцев. Как удалось? — Он пожал плечами.

Харди и Диксон могут покоиться с миром, ибо история подтвердила правильность их высказываний. Их чистая математика, как и всякая математика, созданная ради самой себя, почти заведомо не найдет никаких приложений.{161} Тем не менее полностью исключить всякую применимость чистой математики «по Харди и Диксону» мы не можем. Ребенок, наугад наносящий мазки краски на холст, может создать шедевр, соперничающий с картинами Микеланджело (скорее с произведениями современного искусства!), а обезьяна, нажимающая как попало клавиши пишущей машинки, может, как заметил Артур Эддингтон, создать пьесу, сравнимую по своим художественным достоинствам с пьесами Шекспира. Когда работают тысячи чистых математиков, вряд ли можно поручиться, что хотя бы один из полученных результатов случайно не окажется полезным для каких-либо приложений. Тот, кто ищет на улице золотые монеты, может найти мелкие медные монетки. Но интеллектуальные усилия, не соотнесенные с реальностью, почти заведомо оказываются бесплодными. Как заметил Джордж Биркгоф, «по-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы». Но природа не сообщает свои секреты громогласно, а шепчет еле слышно — и математик должен чутко прислушиваться, усиливать слабый голос природы и доносить услышанное до всеобщего сведения.

— Информация о том, — сказал стоявший рядом подполковник, — что эти девять соберутся, была. Места не знали, а то бы...

Несмотря на убедительные свидетельства истории, некоторые математики продолжают утверждать, что чистая математика в будущем непременно найдет приложения и что независимость математики от естественных наук якобы расширяет ее перспективы. Этот тезис недавно (1961) был повторен профессором Гарвардского, Йельского и Чикагского университетов Маршаллом Стоуном. В статье «Революция в математике» Стоун, воздав должное значению математики для естественных наук, далее говорит;

— И хорошо, что не знали, — буркнул штатский. — Взяли бы мы их, и что?


Хотя в нашей концепции математики и в наших взглядах на нее по сравнению с началом XX в. произошло несколько важных изменений, лишь одно из них вызвало подлинный переворот в наших представлениях о математике — открытие полной независимости математики от физического мира… Математика, как мы сейчас понимаем, не имеет ни одной обязательной связи с физическим миром, помимо той смутной и несколько загадочной, что неявно содержится в утверждении о том, что процесс мышления происходит в мозгу. Без преувеличения можно сказать, что открытие независимости математики от внешнего мира знаменует собой одно из самых значительных интеллектуальных достижений в истории математики…
Сравнивая современную математику с той, какой она была в конце XIX в., нельзя не удивляться, как быстро выросла наша математика и количественно, и качественно. Вместе с тем нельзя не отметить, как быстро она развивалась, как все больше места в ней отводилось абстракции и все больше внимания уделялось введению и анализу емких математических структур. Как показывает более внимательное рассмотрение, именно новая ориентация математики, ставшая возможной лишь благодаря ее отходу от приложений, и была подлинным источником необычайной жизнеспособности и роста математики за последнее столетие…
Современный математик предпочитает определять предмет своей науки как изучение общих абстрактных схем, каждая из которых представляет собой здание, построенное из вполне определенных абстрактных элементов, скрепленных произвольными, но однозначно определенными соотношениями… По мнению математика, ни сами системы, ни предоставляемые логикой средства для изучения их структурных свойств не имеют прямой или необходимой связи с физическим миром… Лишь в той степени, в какой математика освободилась от уз, связывающих ее в прошлом с теми или иными конкретными аспектами реальности, она может стать гибким и мощным инструментом, столь необходимым для вторжения в области, лежащие за пределами известного. Уже сейчас можно было бы привести многочисленные примеры, подтверждающие сказанное…


— усмехнулся он. — Отсидели бы они у нас по месячишку или того меньше — и все.

Далее Стоун приводит в качестве примеров генетику, теорию игр и математическую теорию связи. В действительности же эти примеры вряд ли могут служить подтверждением его тезиса. Все названные им науки возникли в результате применения классической математики, стоявшей на прочном физическом основании.{162}

С резкими возражениями против отстаиваемого Стоуном тезиса выступил в 1962 г. Курант{163}:

Да и брать их за что было? Ведь ни у одного даже пистолета с собой нет. А так... — Он хмуро улыбнулся. — Отблатовали они свое. Знаете, самозванцы хуже действительных воров в законе. У тех хоть какие-то правила есть. А эти... — Он махнул рукой в сторону дымящихся развалин. — Ни стыда ни совести, ни отца ни матери, ни родины ни флага. Если бы они меж собой договорились, в городе, как в Чикаго в конце двадцатых, началась бы война. Так что...

— Перестаньте, товарищ полковник, — улыбаясь, попросил майор. — А то узнают о ваших словах — и перестанут меж собой разборки наводить.


В статье [Стоуна] утверждается, что мы живем в эпоху великих успехов математики, превосходящих все когда-либо достигнутое в прошлом со времен античности. Причину триумфа «современной математики» автор статьи усматривает в одном фундаментальном принципе: абстракции и сознательном отрыве математики от физического и прочего содержания. По его мнению, математический ум, освобожденный от балласта, может воспарить до высот, откуда можно прекрасно наблюдать и исследовать лежащую глубоко внизу реальность.
Я отнюдь не склонен извращать или приуменьшать высказывания или педагогические выводы знаменитого автора. Но как призывный клич, как попытка указать направление, в котором должны развиваться исследования, и прежде всего образование, статья Стоуна в действительности представляет собой сигнал опасности и зов о помощи. Опасность преисполненного энтузиазмом абстракционизма усугубляется тем, что абстракционизм не отстаивает бессмыслицы, а выдвигает полуистину. Разумеется, совершенно недопустимо, чтобы односторонние полуистины мирно сосуществовали с жизненно важными аспектами сбалансированной полной истины.
Никто не станет отрицать, что абстракция является действенным инструментом математического мышления. Математические идеи нуждаются в непрестанной «доводке», придающей им все более абстрактный характер, в аксиоматизации и кристаллизации. Правда, существенного упрощения в понимании структурных связей и зависимостей удается достичь лишь после выхода на более высокое плато. Верно и то, что, как неоднократно подчеркивалось, основные трудности в математике исчезают, если отказаться от метафизических предрассудков и перестать рассматривать математические понятия как описания некой реальности.
Я отнюдь не отрицаю, что наша наука питается живительными соками, идущими от корней. Эти корни, бесконечно ветвясь, глубоко уходят в то, что можно назвать «реальностью» — будет ли это механика, физика, биологическая форма, экономическая структура, геодезия или (в данном контексте) другая математическая теория, лежащая в рамках известного, Абстракция и обобщение для математики имеют не более важное значение, чем индивидуальность явлений, и прежде всего индуктивная интуиция. Только взаимодействие этих сил и их синтез способны поддерживать в математике жизнь, не давая нашей науке иссохнуть и превратиться в скелет. Мы должны решительно пресекать всякие попытки придать одностороннее направление развитию, сдвинуть его к одному полюсу антиномии бытия.
Нам ни в коем случае не следует принимать старую кощунственную чушь о том, будто математика существует к «вящей славе человеческого разума». Мы не должны допускать раскола и разделения математики на «чистую» и «прикладную». Математика должна сохраниться и еще более укрепиться как единая живая струя в бескрайнем потоке науки. Нельзя допустить, чтобы она превратилась в ручеек, уходящий в сторону от основного потока и теряющийся в песках.
Центробежные силы внутренне присущи математике и все же непрестанно угрожают ее существованию. Фанатики изоляционистского абстракционизма представляют для математики реальную опасность. Но не меньшую опасность представляют консервативные реакционеры, не умеющие проводить различия между пустыми претензиями и подлинным вдохновением.


— А я вот не понимаю эти бандитские разборки, — сказал подполковник. — Ну ладно там за предательство или месть. А то ведь делят между собой рынок и несколько ларьков. Вы лучше делите деньги между собой. На кой вам, мертвым, миллионы нужны?

Не отрицая ценности абстракции, Курант утверждал в 1964 г., что математика должна черпать побудительные мотивы из вполне конкретных проблем и должна быть нацелена на некий слой реальности. Если математике необходимо воспарить в абстракцию, то полет в горные выси должен быть не просто бегством от реальности — неоценимое значение имеет возвращение на землю, даже если один и тот же пилот не в состоянии взять на себя управление полетом от начала и до конца.

— Хорошо, что они понимают это по-своему, — усмехнулся полковник. — А то бы объединились — и представляешь, что было бы? Нас бы, наверное, прямо на улицах стрелять начали. А так — грызутся меж собой, нам легче. Но вот кто это организовал? — задумчиво проговорил он. — Интересно. Ведь и исполнителей положили. Сначала двое с улицы стреляли из винтовок. Их там и убили. Они огнем не затронуты. А тех, кто их расстрелял, положили в гараже. Женщину застрелили одиночным. И кто она, установить невозможно. Впрочем, как и остальных. Но почему этих двоих с винтовками под деревьями оставили? — посмотрел он на подполковника. — Вроде как хотели, чтоб мы их опознали. Судя по наколкам, один из них судим. Интересно, кто же этот умник и чего он хочет?

— Что?! — закричал кряжистый мужчина средних лет. — Как не вернулись?!

Математику часто сравнивают с деревом, корни которого прочно и глубоко вросли в плодородную естественную почву. Ствол дерева — число и геометрическая фигура. От ствола отходит множество ветвей, символизирующих различные понятия и разделы математики, которые возникли в ходе ее развития. Одни ветви прочны и питают множество молодых побегов, другие дали несколько чахлых отростков, не увеличивающих особо ни размеры, ни прочность всего дерева. Есть на дереве и засохшие, мертвые ветви. Но самое важное, пожалуй, то, что дерево математики уходит своими корнями в надежную земную твердь, а через ствол и ветви с реальностью связаны и все математические теории. Предпринятые в последнее время попытки полностью удалить почву, оставив в неприкосновенности дерево, корни, ствол и все пышную крону, не могли увенчаться успехом. Многие ветви смогут расцвести лишь после того, как корни еще глубже проникнут в плодородную землю. От черенков, привитых на новые ветви, но не подпитываемых живительными соками реальности, рождались вялые побеги, которым так и не суждено было обрести жизнь. При тщательном уходе таким побегам можно придать видимость живых: они также отходят от ствола и переплетаются с зелеными ветвями, но все же они мертвы, и их можно отсечь, не нанеся ни малейшего ущерба всему живому.

— Да так, — пережевывая жвачку, ответил парень с наколками на пальцах.