§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

Зона ответственности Мрадо в империи Радована: трясти гардеробы, муштровать пацанов, ну и дань собирать. Изредка, по заданию, ходил вправлять мозги слишком борзым толкачам и сутенерам, возомнившим себя Драганом Йоксовичем, и шалашовкам, отказывавшимся работать на дядю. С собой брал Ратко или еще кого из качков.

§ 3. Гироскоп

Был у Мрадо и личный замут. Контора. Импортировали дерево из Таиланда. Тиковое. Черное. Бальзу. Сбывали краснодеревщикам, дизайнерам, застройщикам. Неплохой навар. Но главное — Мрадо нужен легальный доход.

§ 4. Момент количества движения твердого тел



§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве

Проблемы Мрадо: ходка Патрика. Вряд ли бывший скин расколется, но кто его знает… И какого он полез на рожон? А что еще хуже для Мрадо: не в кассу было закидывать удочку насчет доли, раз босс так осерчал. Непонятка вышла, а ведь теперь самая пруха! Дальше: где искать свинтившего барыгу Хорхе? Еще Радован велел Мрадо следить за проектом «Нова» (легавые задумали вместе с прокуратурой покончить с мафией в городе). И наконец: Мрадо мечтал повидать Ловису, иначе его терпение лопнет. Анника, стервозина, отсудить дочку хочет. Что ж, Мрадо готов к битве. Кажется, все общество ополчилось на него. Нет такого, сука, права не давать ему видеться с родной дочкой.

В этой главе мы рассмотрим одно из наи­более замечательных и забавных следствий за­конов механики — поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Од­нако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных слу­чаев.

Мрадо не спалось. Не дела его напрягали, не куча проблем, которые надо решить, — мысли о Ловисе и планы на новую жизнь все покоя не давали. Боялся, что уже не увидит дочь. Прикидывал, как заживет, если завяжет с криминалом. Вдруг есть такое дело, где он придется ко двору! А, чепуха, не стать ему другим. Этому городу нужны только такие, как Мрадо. Из всех проблем проще всего было решить вопрос с попкой для видеопроката. Этим он и занялся.

Прежде всего хочу отметить, что для враще­ния в трех измерениях твердого тела или како­го-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря, xF_y-yF_x так и остается моментом силы «в пло­скости ху», или моментом силы «относительно оси z». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения вели­чины хр_y-ур_х; если вы вспомните вывод урав­нения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обсто­ятельства, что движение плоское, и просто диф­ференцировали величину хр_у-ур_х и получали xF_y-yF_x, так что эта теорема остается верной. Величину хр_у-ур_х мы называли моментом ко­личества движения в плоскости ху, или момен­том количества движения относительно оси z. Кроме плоскости ху, можно использовать дру­гие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость yz. Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим у вместо х, a z вместо у, то для момента силы получим выражение yF_z-zF_y и yp_z-zp_y будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость zx и получить для нее

Перетер с пацанами в качалке. Те наотрез. Терять-то им особо было нечего, по крайней мере никаких таких богатств, о которых бы знал старший брат, просто не хотели брать на себя банкротство. Чуваки мечтали о большом бизнесе. Рано или поздно заняться хоть каким-то легальным делом. Стало быть, не хотели лишний раз пятнать свою репутацию.

zF_x-xF_z=d/dt(zp_x-xp_z).

Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как хр_у—ур_х, для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плос­костей: ху, yz и zx, а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плос­костях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.

Мрадо наезжать на пацанов не стал. И то — выйдет шухер, пусть другие потеют.

Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказыва­ется, что если мы в комбинации x\'F_y\'-y\'F_x\' для «косой» плос­кости выразим величины x\', F_y\' и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях ху, yz и zx. В этом нет ничего но­вого. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях ху, yz и zx, то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комби­нации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.

Решил, наберу-ка другим бригадирам: Горану, Ненаду или Стефановичу. Тем, кто тоже ходит под югославским бароном, равные Мрадо по важности. В авторитете. В то же время соперники Мрадо в борьбе за благосклонность Радована.

Пусть Джо для своих координатных осей х, у, z определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси х\', у\', z\' по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси x и y. Мик выбрал другие оси х\' и у\', а его ось z осталась той же самой. Это означает, что плоскости yz и zx у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости х\'у\' окажется равным

Позвонил Горану.



Горан рулил импортом табака и водки. Та еще шестерка и жополиз. Радован пальчиком шевельнет, Горан готов на брюхе перед ним стелиться. Как дворняжка. Но дело свое знает туго. Бабосы заколачивал знатные, семнадцать лимонов в год.

x\'F_y\'-y\'F_x\' и т. д. Следующая задача — найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно ре­шить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,— скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» — спросите вы. Действительно, он — вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны

Импорт табака и водки: навороченная система снабжения, административный расчет, отлаженный механизм доставки и фрахтования. Целый международный концерн со штаб-квартирой в мафиозном Стокгольме. От сивухи до благородных напитков. Везли через Финляндию из России, Прибалтики, Польши и Германии. Меняли упаковку, данные о производителе. Имели крутые замазки в шведском транспортном профсоюзе. Знали водил. Знали точки. Подмазывали нужных людей. Знали, как тайно провезти товар по Европе. Выправляли липовые накладные, выдумывали правдоподобные схемы доставки, отправителей и получателей. Держали крепких работяг. Которым лишь бы срубить по-быстрому. За долю малую. И все черным налом.



Вот такого бы человечка Мрадо. Не то что его качки. Ухайдоканного. Без амбиций. Чтоб кирял не по-детски. Звезд с неба не хватал. Старпера, короче.



В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подоб­ных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать t_yz=zF_y-yF_z? Этот вопрос связан с тем обстоятель­ством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у t_xy , можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:

Горан снял трубку. Мрадо так искренне изобразил радость, чуть сам не поверил. По-сербски:





— Горан, дружище. Привет!

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе.



— Мрадо, ты, что ль? У меня таких друзей как грязи.

Пусть одна система координат повернута на угол q по отноше­нию к другой, так что ось z осталась той же самой. (Угол q ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то про­исходящим внутри системы координат. Это просто связь меж­ду осями, используемыми одним человеком, и осями, исполь­зуемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоян­ным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

x\'=xcosq+ysinq,

Горан никого в грош не ставил, кроме своего патрона, мистера Р. Мрадо стерпел. Обидно, но дело прежде всего.

y\'=уcosq-хsinq, (20.3)

z\'=z.

— Мы с тобой под одним хозяином ходим. Мы — земляки. Выпили с тобой цистерну водки. Отчего же не друзья. Даже больше чем друзья.





— Слышь, друг, ты мне не брат и не сват. У меня бизнес. А вот что ты за птица, я не догоняю. Гасишь несчастных гардеробщиков. Походу, еще и куртки тыришь?

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как х, у и z. Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобра­зуются как х, у и z

— Ты чё несешь?





Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо х\', у\' и z\' выражение (20.3), а для F_x\' , F_y\', и F_z\'-— выражение (20.4). В результате для t_x\'y\' получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению xF_y-yF_x, которое, как известно, является моментом силы в плоскости ху:





Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости ху, при этом момент относительно оси z в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для t_V\'Z\' . Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью y\'z\', то получим



И наконец, для плоскости z\'x\'









Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно за­помнить это правило? Если внимательно посмотреть на урав­нения (20.5)—(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для х, у и z существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать t_ху z-компонентой чего-то, скажем z-компонентой вектора t, то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора t, ибо z-компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость yz с x-компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость zx с у-компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию xF_y-yF_x можно отождествить с тем, что обычно называется z-компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе круче­ния. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Соглас­но правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Од­нако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределен­ный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат xyz правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кру­чением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство — особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент — самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трех­мерном пространстве он — вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) допол­нительно к трем плоскостям xy, yz и zx появятся также плоскости tx, ty и tz. Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного век­тора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих мате­матических рассмотрениях совершенно не существенно то, что х — координата, a F — сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты х подставим x-компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину axb_y-a_yb_x, где а и b — векторы, и назвать ее z-компонентой некоторой новой величины c_z, то эта величина будет вектором с. Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора с с векторами а и b придумать какое-то матема­тическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначе­нием: c=aXb. Таким образом, в дополнение к обычному ска­лярному произведению в векторном анализе мы получили про­изведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись c=aXb это то же самое, что

c_x=a_yb_z-а_гb_у,

c_y=a_zb_x-a_xb_z, (20,9)

с_г=а_хb_у -а_уb_х.

Если переменить порядок векторов а и b, т. е. вместо aXb взять bXa, то знак вектора с при этом изменится, ибо c_z равно b_ха_у-b_уа_х. Векторное произведение поэтому не похоже на обыч­ное умножение, для которого аb=bа. Для векторного произ­ведения bXa=-aXb. Отсюда немедленно следует, что если а=b, то векторное произведение равно нулю, т. е. аXа=0.

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов а, b и с. Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить сле­дующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор с пер­пендикулярен как к вектору а, так и к вектору b. (Попробуйте вычислить сXа и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора с оказывается равной произведе­нию абсолютных величин векторов b и а, умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор с? Вообразите, что мы доворачиваем вектор а до вектора b в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с право-винтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении век­тора с. То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,— простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов а и b вектор нового типа аXb по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов а и b, кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата r, сила F, импульс р, скорость v, электрическое поле Е и т. д. Все это обычные полярные век­торы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, мо­гут служить момент силы t и момент импульса L. Кроме того, оказывается, что угловая скорость w, как и магнитное поле В, тоже псевдовектор.

Чтобы расширить наши сведения о математических свой­ствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпи­шем все правила с участием векторного произведения. Впослед­ствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

а) aX (b+c)=aXb+aXc,

б) (aa)Xb=a (aXb),

в) a· (bXc)=(aXb)·c, (20.10)

г) aX (bXc)=b(a·c)—c(a·b),

— Ничего, — сказал Ом, любуясь их шаловливыми выходками. — Пусть резвятся. Наверно, наработались за день.

д) аXа=0,

е) а·(aXb)=0.

§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

Теперь они вместе — портные, хозяин обезьян и его животные — шли к поселку под гипнотический стук барабана «бум-бум». Лайле и Маджно ведро вскоре наскучило, и они стали приставать к Ому — лезли на плечи или на голову, висели на руках, цеплялись за ноги. Юноша смеялся всю дорогу, и Ишвар улыбался от радости.

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произ­ведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конеч­но, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сра­зу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу

t=rXF. (20.11)

Но после расставания с обезьянами веселость Ома сразу пропала. Он снова погрузился в уныние и бросал полные отвращения взгляды в сторону Раджарама, разбиравшего и сортировавшего на улице мешки с волосами. Небольшие черные холмики выглядели как сборище косматых человеческих голов.

Это просто краткая запись трех уравнений: т_x=yF_z-zF_y и т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произ­ведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса

L=rXp. (20.12)

Увидев нагруженных покупками соседей, Раджарам их поздравил:

Векторная форма динамического закона вращения в трехмер­ном пространстве напоминает уравнение Ньютона F=dp/dt; именно вектор момента силы равен скорости изменения со вре­менем вектора момента количества движения

t=dL/dt. (20.13)

— Радостно видеть, что вы ступили на путь к процветанию.

— Разуй глаза. Где ты видишь путь к процветанию? — рявкнул Ом и, войдя в хижину, стал раскатывать постель.



Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения

— Что это с ним? — спросил обиженный Раджарам.



— Думаю, просто устал. Слушай, сегодня ты ужинаешь с нами. Надо обмыть новый примус.

Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохране­ния момента количества движения. Если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества дви­жения не изменяется.

— Разве я могу отказать дорогим друзьям?

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг неко­торой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предпо­ложим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей. Тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть най­дена следующим образом. Если вращение в плоскости ху пред­ставить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направ­ленного вдоль оси y, изобразить скорость вращения в плоско­сти, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим ре­зультат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту го­воря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоуголь­ные проекции на эти плоскости.

В качестве простого примера с использованием вектора угло­вой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действующим на твердое тело. Так как мощность — это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной Р=t·w.

Ужин они стряпали вдвоем, и позвали Ома, когда все было готово. Во время еды Раджарам спросил, не дадут ли друзья ему в долг десять рупий. Просьба удивила Ишвара. Ему казалось, что сборщик волос неплохо зарабатывает своим ремеслом — ведь последние две недели он с таким энтузиазмом о нем рассказывал.

Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения. Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором r?» В качестве упражнения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выражением v=wXr, где w — угловая скорость, а r — положение частицы. Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как F_K=2mvXw. Иначе говоря, если в системе координат, вращаю­щейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и ми все хотим описать через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу f_k.

§ 3. Гироскоп

Раджарам заметил сомнение на его лице и прибавил:

Вернемся теперь снова к закону сохранения момента коли­чества движения. Его можно продемонстрировать с помощью бы­стро вращающегося колеса, или гироскопа (фиг. 20.1).



— Я верну деньги через неделю, не волнуйтесь. Бизнес сейчас идет плоховато. Но в женскую моду начинает входить новый стиль. Все станут обрезать косы. И длинные локоны сразу упадут мне в руки.



Фиг. 20.1. Быстро вращающийся гироскоп.

— Хватит уже о волосах, — сказал Ом. — Меня от этого тошнит. — После ужина он не остался курить и болтать с мужчинами, сослался на головную боль и пошел спать.

Его дядя пришел через час и остановился за спиной Ома, глядя на племянника: «Бедный мальчик, сколько ему пришлось пережить!» Наклонившись над ним, Ишвар увидел, что Ом лежит с открытыми глазами.

— Ом? У тебя голова болит?

а — ось направлена горизонтально, момент количества движения относитель­но вертикальной оси равен пулю; б — ось направлена вертикально, момент количества движения относительно вер­тикальной оси должен остаться равным нулю; человек и стул крутятся в направлении, противоположном вращению колеса.

— Нет, — простонал Ом.

Если стать на крутящийся стул и держать вращающееся колесо в го­ризонтальном положении, то его момент количества движения будет направлен горизонтально. Момент количества движения относительно вертикальной оси нельзя изменить из-за фикси­рованного направления оси стула (трением пренебрегаем). Если теперь повернуть ось с колесом вертикально, то колесо приобретет момент количества движения относительно верти­кальной оси. Однако система в целом (колесо, вы сами и стул) не может иметь вертикальной компоненты, поэтому вы вместе со стулом должны крутиться в направлении, обратном враще­нию колеса, чтобы скомпенсировать его.



— Потерпи, Ом, все будет хорошо. — Желая приободрить юношу, Ишвар прибавил: — Наконец счастье нам улыбнулось. Все будет хорошо.



Прежде всего давайте более подробно проанализируем явле­ние, которое мы только что описали. Самое удивительное, в чем нам следует разобраться, это откуда берутся силы, раскручива­ющие нас вместе со стулом, когда мы поворачиваем ось гиро­скопа вертикально. На фиг. 20.2 показано колесо, быстро вра­щающееся вокруг оси у, т. е. его угловая скорость направлена по этой оси.

— Как у тебя язык поворачивается нести такую чепуху? Мы живем в грязной, вонючей лачуге. Работа ужасная. Дина-бай следит за нами как стервятник, постоянно пристает, учит, когда нам есть, а когда отрыгивать.

Фиг. 20.2. Гироскоп.

Ишвар вздохнул: племянник ушел в безысходную тоску. Он зажег две палочки агарбатти.

В ту же сторону направлен и момент количества движения. Предположим теперь, что мы хотим вращать колесо относительно оси х с малой угловой скоростью W; какая сила для этого требуется? Через малый промежуток времени Dt ось займет новое положение, отклонившись от горизонтального положения на угол Dq. Поскольку основная часть момента ко­личества движения происходит от вращения колеса (медленное вращение вокруг оси х дает очень малый вклад), мы видим, что вектор момента количества движения изменяется. Каково же изменение этого вектора? Он остается тем же самым по величине, однако направление его меняется на угол Dq. Величина вектора DL поэтому равна DL=L₀Dq; в результате возникает момент силы, равный скорости изменения момента количества движе­ния t=DL/Dt=L₀(Dq/Dt)=L₀W. Учитывая направление раз­личных величин, мы видим, что

t=WXL₀. (20.15)

— Сейчас наш дом наполнится ароматом. Постарайся выспаться, голова к утру пройдет.

Таким образом, если W и l₀ направлены горизонтально, как это показано на фигуре, то t направлен вертикально. Чтобы уравновесить такой момент, к концам оси в горизонтальном направлении должны быть приложены силы F и -F. Откуда берутся эти силы, кто их прикладывает? Да мы сами, собст­венными руками, когда стараемся повернуть ось колеса в вер­тикальное положение. Но Третий закон Ньютона требует, что­бы равные и противоположно направленные силы (и равный, но противоположно направленный момент) действовали на нас. Они и заставляют нас крутиться вокруг вертикальной оси z в противоположном направлении.

Этот результат можно обобщить на быстро вращающийся волчок. В обычном вращающемся волчке сила тяжести, дейст­вующая на его центр масс (ц.м.), создает момент относительно точки соприкосновения волчка с полом (фиг. 20.3).

Поздно вечером, когда стихла фисгармония и перестала лаять Тикка, из хижины сборщика волос продолжали слышаться голоса, они мешали Ому спать. У него кто-то был. Захихикала женщина, засмеялся Раджарам. Потом мужчина тяжело задышал, и из-за фанерной стены донеслись мучительные для Ома звуки. Он мысленно представил себе этих двух — мужчину и женщину — обнаженными, среди зловещих мешков с волосами, в эротических позах, которые так соблазнительно выглядят на киноафишах. Вспомнилась встреча у колонки с Шанти, ее чудесные, блестящие волосы, ее груди, обтянутые блузкой, когда она поднимала на голову большой медный котелок, и он подумал о том, чем они могли бы заниматься в кустах у железной дороги. Дядя уже крепко спал. Ом встал, подошел к фанерной стенке и стал мастурбировать. Женщина как раз выходила от соседа. Пока она не скрылась, Ом прятался в тени.





Он уснул после полуночи, но его вскоре разбудили истошные вопли. На этот раз проснулся и Ишвар.

Фиг. 20.3. Быстро вращающийся волчок.

Заметьте, что направление вектора момента силы совпадает с направле­нием прецессии.

— Рама Всемогущий! — воскликнул он. — Это что такое?

Этот момент действует в горизонтальном направлении и заставляет волчок прецессировать, т. е. ось его будет описывать круговой конус вокруг вертикальной оси. Если W — угловая скорость прецес­сии (направленная вертикально), то мы снова находим



Выйдя наружу, они наткнулись на Раджарама, у того на губах блуждала довольная улыбка. Ом бросил на него взгляд, в котором были и зависть, и отвращение. Поблизости люди повыскакивали из своих лачуг. Потом кто-то сказал, что рожает женщина, и все вернулись к себе досыпать. Через какое-то время крики затихли.

Таким образом, если к быстро вращающемуся волчку прило­жить момент сил, то возникнет прецессия в направлении этого момента, т. е. под прямым углом к силам, создающим момент.

На следующий день им сказали, что под утро родилась девочка.

Итак, теперь мы можем утверждать, что поняли прецессию гироскопа, и математически мы действительно поняли ее. Однако вся эта математика может показаться нам в каком-то смысле «колдовством». Между прочим, по мере углубления во все более сложную физику многие простые вещи легче вывести математически, чем действительно понять их фундаментальный или простой смысл. По мере того как вы будете переходить ко все более и более современным работам по физике, то обнару­жите одно странное обстоятельство: математика дает резуль­таты, которые никто не может понять непосредственно. В ка­честве примера можно взять уравнение Дирака, которое полу­чается очень просто и красиво, но понять его следствия труд­новато. В нашем частном случае прецессия волчка кажется чудом, каким-то тайнодействием с прямыми углами, окруж­ностями, крутящимися силами и правовинтовыми болта­ми. Но давайте все-таки попытаемся понять ее физическую сущность.

Как можно объяснить этот момент сил с помощью реально действующих сил и ускорений? Заметьте, что, когда колесо прецессирует, частицы колеса в действительности не движутся уже в одной плоскости (фиг. 20.4).



— Пойдем, поздравим родителей, — предложил Ишвар.



Фиг. 20.4. Движение частицы вращающегося колеса, показанного на фиг. 20.2,

— Иди, если хочешь, — хмуро отозвался Ом.

При повороте оси эти частицы движутся по кривой линии.

— Не расстраивайся так, — Ишвар взъерошил племяннику волосы. — Я найду тебе жену, обещаю.

Мы показали ранее (см. фиг. 19.4), что частица, которая пересекает ось прецес­сии, движется по кривому пути. Но для этого требуется какая-то боковая сила, которая возникает благодаря производимому нами давлению на ось колеса. Это давление по спицам переда­ется частицам обода. «Постойте,— скажете вы,— а как относи­тельно частиц на другой стороне колеса, которые движутся в об­ратном направлении?» Нетрудно догадаться, что действующие на них силы должны быть направлены в противоположную сто­рону, поэтому полная сила должна быть равна нулю. Таким образом, силы уравновешиваются, но одна из них приложена на одной стороне колеса, а другая — на другой. Эти силы мож­но было бы приложить непосредственно к колесу, однако из-за того, что колесо твердое, их можно приложить к оси, а через спицы они передаются на колесо.

— Себе ищи, — огрызнулся Ом. — Мне никто не нужен. — Отойдя от дяди, он взял лежащий на ящике гребешок и причесал взлохмаченные волосы.

До сих пор мы доказали, что, если колесо прецессирует, оно может скомпенсировать моменты сил, вызванные силой притя­жения или какой-то другой причиной. Однако мы только пока­зали, что прецессия есть одно из возможных решений уравне­ния. Другими словами, только при том условии, что действует момент и колесо запущено правильно, мы получим чистую пре­цессию. Но мы не доказали (и это вообще неверно), что чистая прецессия — наиболее общее движение вращающегося тела под действием момента сил. Общее движение включает, кроме того, какие-то колебания и отклонения от главной прецессии. Эти колебания называются нутацией.

— Приду через две минуты — и сразу на работу, — сказал Ишвар.

Кое-кто любит говорить, что когда на гироскоп действует момент, то он поворачивается и прецессирует, что момент сил приводит к прецессии. Кажется очень странным, что, будучи запущенным, гироскоп не падает под действием силы тяжести, а движется вбок! Как это может случиться, что направленная вниз сила тяжести, которую мы хорошо знаем и чувствуем, заставляет его двигаться вбок? Ни одна из формул в мире, по­добная (20.15), не скажет нам этого, потому что формула (20.15)— это особый случай, верный только тогда, когда прецессия гиро­скопа уже установилась. Если же говорить о деталях, то в действительности происходит следующее. Когда мы держим ги­роскоп за ось, так что он никак не может прецессировать (но сохраняет свое вращение), то на него не действуют никакие мо­менты сил, даже момент силы тяжести, поскольку своими паль­цами мы компенсируем его. Но стоит только освободить ось, как в тот же момент на нее подействует момент силы тяжести. По простоте душевной каждый решит, что конец оси должен при этом падать, и он действительно начинает падать. Это мож­но просто видеть, если гироскоп вращается не слишком быстро.

Ом сидел в дверях, перебирая в руках лоскуток шифона, который вчера подобрал с пола у Дины Далал и потихоньку сунул в карман. Как приятен он на ощупь — так и струится меж пальцев, почему жизнь не может быть такой же нежной и ласковой? Проводя лоскутом по щеке, Ом в то же время следил, как дети пьяницы затеяли новую игру — они бегали и катались в пыли, дожидаясь, когда мать поведет их попрошайничать. Один из них нашел необычной формы камень и хвастался перед остальными. Потом они стали преследовать ворону, которая нацелилась на какую-то гнилую снедь. Храбрая ворона не хотела улетать, она двигалась, подпрыгивала, ходила кругами, но каждый раз возвращалась к гнилому лакомству, чем очень веселила детей. «Как могут они радоваться — такие грязные, почти голые, голодные, с изъязвленными личиками и сыпью на коже? — думал Ом. — Разве можно звонко смеяться в таком гиблом месте?»



Сунув шифон в карман, он пошел к хижине человека с обезьянами. Лайла занималась туалетом Маджно, и Ом, удобно расположившись, наблюдал за ними. Но уже через минуту обезьянки запрыгнули ему на плечи и стали нежными детскими пальчиками перебирать его волосы.



Итак, как и ожидается, конец оси гироскопа действительно начинает падать. Но поскольку он падает, то, стало быть, он вращается и тем самым создает момент сил. Это сообщает оси гироскопа движение вокруг вертикальной оси такое же, как и при постоянной прецессии. Однако вскоре скорость начинает превышать скорость при постоянной прецессии, поэтому ось начинает подниматься вверх до прежнего уровня. В результате конец оси описывает циклоиду (кривую, которую описывает камень, застрявший в шине автомобиля). Обычно это очень быстрое, незаметное для глаз движение, к тому же оно скоро затухает благодаря трению в подшипниках, а выживает только «чистая» прецессия (фиг. 20.5).

Ом этому не противился. Хозяин обезьян улыбался и не отзывал малышек.



Фиг. 20.5. Истинное движение конца оси гироскопа под дейст­вием силы тяжести тотчас же после его освобождения.

— Они и со мной такое проделывают, — сказал он. — Значит, ты им нравишься. Хороший способ держать волосы в чистоте.

Однако чем медленнее крутится колесо, тем нутация более заметна.

Лайла что-то отыскала в волосах Ома и стала это внимательно рассматривать, однако Маджно отнял у нее забаву и засунул себе в рот.

После того как движение устанавливается, ось гироскопа оказывается несколько ниже, чем она была вначале. Почему? (Это более сложная деталь, и мы упоминаем о ней только для того, чтобы не оставлять у читателя впечатления, что гиро­скоп — это чудо. Он действительно удивительная штука, но все же не чудо.) Если мы держали ось абсолютно горизонтально, а затем внезапно отпустили ее, то с помощью уравнения прецес­сии мы можем установить, что ось начинает прецессировать, т. е. двигаться по кругу в горизонтальной плоскости. Но это невозможно! Хотя мы и не обращали на это внимания раньше, колесо обладает каким-то моментом инерции относительно прецессирующей оси, и если оно даже медленно вращается вокруг этой оси, то оно имеет слабый момент количества движения. Отчего это происходит? Ведь если опора идеальная (т. е. если нет никакого трения), то относительно вертикальной оси никакого момента сил не может возникнуть. Тогда каким же об­разом прецессия все же возникает, если нет никаких моментов? Ответ: движение по циклоиде конца оси стремится к среднему стационарному движению, которое эквивалентно движению центра катящегося колеса, т. е. он устанавливается несколько ниже горизонтали. По этой причине собственный угловой мо­мент гироскопа имеет небольшую вертикальную компоненту, которая в точности компенсирует момент количества движе­ния прецессии. Как видите, ось должна немного опуститься, немного поддаться силе тяжести, чтобы иметь возможность крутиться вокруг вертикальной оси. Так работает гироскоп,



§ 4. Момент количества движения твердого тела

Прежде чем расстаться с вопросом о вращении в трехмерном пространстве, обсудим еще, хотя бы качественно, некоторые не­очевидные явления, возникающие при трехмерных вращениях,

Ом выбрал черный «геркулес» в прокатном центре недалеко от дома Дины Далал. У велосипеда был внушительный багажник над задним колесом и большой блестящий звонок на руле.



Главное из них: момент количества движения твердого тела не обязательно направлен в ту же сторону, что и уг­ловая скорость. Рассмотрим колесо, прикрепленное наклонно к оси, однако ось по-прежнему проходит через его центр тяжести (фиг. 20.6).

— Зачем тебе понадобился велосипед? — не понимал Ишвар. Ом хитро улыбался, глядя, как работник гаечным ключом устанавливает по росту сиденье.



Фиг. 20.6. Момент количества движения вращающегося тела не обязательно параллелен угловой скорости.

— Прошел месяц, как мы работаем на нее, — сказал Ом. — Это большой срок. И у меня созрел план. — Проверив пальцами, хорошо ли накачаны шины, он остался доволен и выкатил велосипед на главную улицу. — Сегодня ей надо везти товар на фирму, ведь так? И я собираюсь ехать на велосипеде за деньги, выданные на такси. — Легко перекинув ногу через раму, Ом покатил по улице.

Если вращать колесо вокруг оси, то всем известно, что из-за наклонной посадки оно будет трясти подшипники. Качественно мы знаем, что при вращении на колесо должна действовать центробежная сила, которая старается оттянуть его массу подальше от оси. Она старается выпрямить плоскость колеса так, чтобы оно было перпендикулярно к оси. Чтобы уравновесить это стремление, в подшипниках должен возник­нуть момент сил. Но если в подшипниках возникает момент сил, то должна быть какая-то скорость изменения момента количе­ства движения. Как может изменяться момент количества дви­жения, если колесо просто вращается вокруг оси? Предполо­жим, что мы разбили угловую скорость w на компоненты w₁ и w₂ — перпендикулярную и параллельную плоскости колеса. Чему при этом будет равен момент количества движения? Так как моменты инерции относительно этих двух осей различны, то отношение компонент момента количества движения, кото­рые (при таком частном выборе осей) равны произведениям моментов инерции на соответствующие компоненты угловых скоростей, отличается от отношения компонент угловой ско­рости. Поэтому вектор момента количества движения не направ­лен вдоль оси. Поворачивая вал, мы должны поворачивать и вектор момента количества движения, что приводит к возник­новению момента силы, действующего на ось.

— Будь осторожен, — сказал Ишвар. — Здесь движение не такое, как на нашей деревенской дороге. — Идя по краю тротуара, он ускорил шаг, чтобы не отстать от племянника. — План не плох, но ты забыл одну вещь — замок на двери. Как ты выберешься из квартиры?

Момент инерции имеет еще одно очень важное и интересное свойство (я не буду доказывать его здесь, так как это очень сложно), которое легко описать и использовать. Наше предыду­щее рассмотрение основано именно на этом свойстве. Оно со­стоит в следующем: любое твердое тело, даже неправильной формы, как, например, картошка, имеет такие три взаимно перпендикулярные проходящие через центр масс оси, что мо­мент инерции относительно одной из них имеет наибольшую возможную величину из всех осей, проходящих через центр масс, а момент инерции относительно другой оси имеет наимень­шую величину. Момент инерции относительно третьей имеет какую-то промежуточную величину между двумя первыми или равную одной из них. Эти оси, называемые главными осями тела, обладают тем важным свойством, что, если тело вращается вокруг одной из них, его момент количества движения имеет то же направление, что и угловая скорость. Если тело имеет оси симметрии, то направление главных осей совпадает с осями симметрии.

— Со временем узнаешь.

Если в качестве осей х, у и z выбрать главные оси тела и назвать соответствующие моменты инерции через А, В и С, то нетрудно подсчитать момент количества движения и кинети­ческую энергию вращения тела при любой угловой скорости w (фиг. 20.7).



В прекрасном настроении Ом ехал рядом с дядей. Щиток от грязи дребезжал, тормоза были недостаточно упругими, зато звонок работал превосходно. «Дзын-дзын» — оглушительно звенел он под его большим пальцем. «Дзын-дзын!» Преисполненный уверенности в себе, Ом лихо сновал среди автомобилей на своем музыкальном велосипеде, колеса которого, считал он, помогут обрести ему достойное будущее.



Фиг. 20.7. Угловая скорость и мо­мент количества движения твер­дого тела (А>В>С),

Ишвар вздохнул с облегчением, когда племянник снова приблизился к тротуару. План был абсурдным, но его радовало, что Ом повеселел. Юноша еле сдерживался, чтобы не рвануть вперед — крутил из стороны в сторону руль и время от времени тормозил. Балансируя в седле на малой скорости, он словно исполнял сложный танец. «Кураж скоро пройдет, — с надеждой подумал Ишвар, — племянник позабудет свои вздорные идеи и с прежним пылом будет шить одежду для Дины».





Разлагая w на компоненты w_x, w_y, и w_г по осям х, у и z и используя направленные вдоль этих осей единичные векторы i, j, k, можно записать момент количества движения в виде

Ом предложил дяде сесть на багажник. Тот сел боком, свесив ноги. Они поехали, но сандалии Ишвара то и дело шаркали по мостовой. В Оме бурлил оптимизм, выливаясь в задорном «дзин-дзин» звонка. На какое-то время мир стал казаться ему прекрасным.



Вскоре портные подкатили к тому углу, где просил милостыню нищий на платформе. Они остановились, чтобы бросить ему монетку. Та громко звякнула, упав в пустую банку.



причем кинетическая энергия будет равна

Велосипед укрыли недалеко от дома Дины Далал — в затянутом паутиной лестничном колодце, пропахшем мочой и самогоном, и прикрепили цепью к пустой газовой трубе. Наружу они выбирались, пытаясь отчиститься от невидимых, тончайших нитей, прилипших к рукам и лицам. Призрачная паутина еще какое-то время мешала им. Руки сами тянулись ко лбу и шее, чтобы избавиться от того, чего там уже не было.

* Что это действительно так, доказывается с помощью рассмотрения перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток вре­мени Dt. Это не самоочевидно, и я предоставляю тем, кто интересуется, доказать это.





Укладывая платья для передачи на «Оревуар экспортс», руки Дины порхали, как игривые бабочки. Она просмотрела бумажные выкройки, чтоб убедиться, что все они на месте. Менеджер особенно беспокоилась о судьбе выкроек. «Берегите их как зеницу ока, — постоянно напоминала миссис Гупта. — Если они попадут в чужие руки, моему бизнесу конец».

Дина считала это преувеличением. Тем не менее, сортируя по группам детали одежды — лифы, рукава, воротнички, вырезанные из коричневой бумаги, она не могла избавиться от мысли, что в опасности ее собственная грудь, плечи и шея. С некоторых пор она чувствовала надменность миссис Гупта по отношению к ней, как будто та пришла к заключению, что Дина ей не ровня. Теперь она не приподнималась из-за стола, чтобы встретить или проводить Дину, не предлагала ей ни чая, ни «Фанты».

Ее пальцы опять нервно потянулись к уже сложенным платьям. Она вытащила несколько на проверку, осмотрела швы, обметку. Пропустит ли миссис Гупта эту партию? Будут ли претензии? А эти, шившие прежде как ангелы, портные, похоже, спустились с небес: в их работе теперь часто сквозила небрежность.

Ом наблюдал со своего места за этим еженедельным нервозным приступом хозяйки. Все его мысли были поглощены одним — не прозевать бы момент.

И вот он наступил.

Дина защелкнула сумочку.

Ом всадил ножницы в указательный палец левой руки.

Его пронзила боль, оказавшаяся сильнее, чем он думал. Ому казалось, если чего-то ждешь, то переносишь это не так остро — так бывает, когда предчувствуешь удовольствие. Кровь взмыла ярко-алым фонтанчиком, забрызгав ткань.

— О боже! — воскликнула Дина. — Что ты натворил? — Она схватила с пола клочок ткани и прижала к ране. — Подними руку и держи, или кровь пойдет сильнее.